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東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

四面体OABCにおいて，
4つの面はすべて合同であり，
OA=3，OB=7，AB=2であるとする。
また，3点O，A，Bを含む平面をLとする。

(1) 点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。
OH→をOA→とOB→を用いて表せ。

(2) 0<t<1をみたす実数tに対して，
線分OA，OB各々をt:1−tに内分する点をそれぞれPt，Qtとおく。
2点Pt，Qtを通り，平面Lに垂直な平面をMとするとき，
平面Mによる四面体OABCの切り口の面積S(t)を求めよ。

(3) tが0<t<1の範囲を動くとき，S(t)の最大値を求めよ。

難易度8/ 10計算量7/ 10目安40分

ベクトル、図形と方程式、微分　ベクトル成分計算、内積の利用、面積計算、微分による最大最小

方針

4面合同から向かい合う辺の長さが等しいことを用い，OC=2，AC=7，BC=3 として内積を求める。(1) は OH→=αOA→+βOB→ とおき，CH が平面 L に垂直である条件を内積0で立てる。(2) は平面 M が L に垂直なので，M 内で平面 L からの高さを変数にして切り口の水平線分の長さを積分する。H の位置により，切り口の上端がどの面に当たるかが t=2/9 で切り替わる。

解答

(1) 4つの面がすべて合同であるから，向かい合う辺の長さは等しい。面 OAB の辺の長さが OA=3,OB=7,AB=2 であることから OC=AB=2,AC=OB=7,BC=OA=3 である。a⃗=OA→,b⃗=OB→,c⃗=OC→とおく。まず ∣a⃗∣2=9,∣b⃗∣2=7,∣c⃗∣2=4 である。また AB2=∣b⃗−a⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2a⃗⋅b⃗ より 4=9+7−2a⃗⋅b⃗ だから a⃗⋅b⃗=6 である。同様に AC2=∣c⃗−a⃗∣2=7 より 7=9+4−2a⃗⋅c⃗ なので a⃗⋅c⃗=3 である。また BC2=∣c⃗−b⃗∣2=9 より 9=7+4−2b⃗⋅c⃗ なので b⃗⋅c⃗=1 である。

点 H は平面 L 上にあるから OH→=αa⃗+βb⃗ とおける。さらに CH は平面 L に垂直なので(c⃗−αa⃗−βb⃗)⋅a⃗=0,(c⃗−αa⃗−βb⃗)⋅b⃗=0である。内積を代入すると 3−9α−6β=0,1−6α−7β=0 すなわち 9α+6β=3,6α+7β=1 である。これを解くと α=59,β=−13 である。よってOH→=59OA→−13OB→である。

(2) まず高さを求める。(1) の結果からOH2=c⃗⋅OH→=59(c⃗⋅a⃗)−13(c⃗⋅b⃗)=59⋅3−13⋅1=43である。したがって CH2=OC2−OH2=4−43=83 より CH=263 である。

また，平面 L 上で AB に平行な直線族を O 側から AB 側へ測るアフィン座標を考えると，H の値は59−13=29である。ただし係数 β=−1/3 であるから，H 自体は三角形 OAB の外側にある。

点 Pt,Qt はそれぞれ OPt→=ta⃗,OQt→=tb⃗ であるから，PtQt は AB に平行で，その長さは PtQt=t AB=2t である。

平面 M は PtQt を含み，平面 L に垂直である。平面 M 内で，C へ向かう割合を u とする。すなわち，平面 L からの高さは u CH(0≦u≦1) である。この高さでの四面体の断面は，平面 L 上の三角形 OAB が C に向かって相似に縮んだものなので，PtQt に平行な切り口の長さは 2(t−29u) となる。ただし，この線分が四面体の内部に残るためには，左端と右端の両方が三角形内にある必要がある。

その条件は 0≦u≦9t2 および 0≦u≦9(1−t)7 である。したがって N=min⁡(9t2,9(1−t)7) とおけば，切り口の面積は S(t)=CH∫0N2(t−29u)du である。

ここで 9t2≦9(1−t)7 は 7t≦2(1−t) すなわち t≦29 と同値である。

まず 0<t≦2/9 のとき，N=9t/2 である。よって S(t)=263∫09t/22(t−29u)du. 積分すると∫09t/22(t−29u)du=[2tu−29u2]09t/2=9t22であるから S(t)=36 t2 である。

次に 2/9≦t<1 のとき，N=9(1−t)/7 である。したがって S(t)=263[2tu−29u2]09(1−t)/7. 整理すると S(t)=12649(1−t)(8t−1) である。

よってS(t)={36 t2(0<t≦29),12649(1−t)(8t−1)(29≦t<1)である。

(3) 0<t≦2/9 では S(t)=36 t2 であり，これは増加する。したがってこの区間での最大値は t=2/9 のとき 36(29)2=4627 である。

2/9≦t<1 では S(t)=12649(1−t)(8t−1) である。ここで (1−t)(8t−1)=−8t2+9t−1 は上に凸の2次式で，頂点は t=916 である。この値は 2/9<t<1 を満たす。したがって後半区間での最大値は12649(1−916)(8⋅916−1)である。括弧内は 716⋅72=4932 なので Smax⁡=12649⋅4932=368 である。これは前半区間の最大値 46/27 より大きい。

よって最大値は 368 である。

四面体と垂直断面

M は PtQt を含み、底面 L に垂直である。

別解

解法2（直交座標と重心座標）

方針

平面 L を xy 平面に取り、O,A,B,C の座標を辺長条件から決める。切り口上の点を四面体の重心座標で表すと、平面 M の条件と四面体内部の条件が一次不等式になり、切り口の横幅と高さ範囲を直接求められる。

解答

(1) 平面 L を xy 平面とし、O=(0,0,0),A=(3,0,0)とおく。OB=7、AB=2 よりB=(2,3,0)とできる。4面合同からOC=2,AC=7,BC=3である。これら3本の距離条件を解くと、z>0 側の C はC=(1,−13,263)となる。したがってH=(1,−13,0).OH→=αOA→+βOB→ と比較するとβ3=−13,3α+2β=1なのでOH→=59OA→−13OB→.(2)　 AB に平行な底面上の直線を測る一次式としてw(x,y)=3x+y33を用いる。実際、w(O)=0,w(A)=w(B)=1,w(H)=29.Pt,Qt を通り L に垂直な平面 M はw=tで表される。

切り口上の点をλA+μB+νCと表す。四面体内部の条件はλ,μ,ν≧0,λ+μ+ν≦1である。w=t よりλ+μ+29ν=t.固定した ν では λ+μ=t−2ν/9 だから、AB に平行な切り口の長さは2(t−29ν).また λ+μ≧0 と
λ+μ+ν≦1 から0≦ν≦N,N=min⁡(9t2,9(1−t)7).ν が dν 増えると高さは263 dνだけ増えるのでS(t)=263∫0N2(t−29ν)dν.N の切り替わりは9t2=9(1−t)7⟺t=29である。積分してS(t)={36 t2(0<t≦29),12649(1−t)(8t−1)(29≦t<1).(3)　 前半は単調増加する。後半の(1−t)(8t−1)=−8t2+9t−1は t=9/16 で最大となる。両区間の値を比較するとmax⁡S(t)=368であり、これは t=9/16 のときに達成される。

総評

難度は10段階中8、計算量は10段階中7。目安時間は40分程度で、面合同から辺長を対応させ、射影、切り口、最大値へつなぐ総合問題である。(1) は内積でも直交座標でも確認でき、H が底面三角形の外側にあることも係数 −1/3 と整合する。

(2) の本質は、切り口の横幅が 2(t−2u/9) と一次的に変化し、上端が u=9t/2 と u=9(1−t)/7 の小さい方で決まることである。切り替わり t=2/9 の由来を明記し、(3) では2区間の最大値を別々に求めて比較する。

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出典: 東京大学 2010年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。