東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

正八面体を1つの面を下にして置くと，その面と，それに平行な反対側の面が上下にある。真上から見ると，この2つの正三角形の投影が互いに逆向きに重なり，外枠は正六角形になる。したがって平面図は，正六角形の1つおきの頂点を結んだ2つの正三角形が重なった図である。

真上から見た平面図。外周は正六角形で、互いに逆向きの正三角形が重なる。

(2)

正八面体を，6つの頂点 $(\pm a,0,0),(0,\pm a,0),(0,0,\pm a)$ をもつ立体として座標空間に置く。このとき隣り合う頂点間の距離は $a\sqrt{2}$ である。辺の長さが $1$ だから $$a\sqrt{2}=1,a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。

この正八面体は $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }\leqq a$ で表される。互いに平行な2面として $X+Y+Z=a,X+Y+Z=-a$ 上の面を考えてよい。これらの面の重心はそれぞれ$$({\displaystyle \frac{a}{3}},{\displaystyle \frac{a}{3}},{\displaystyle \frac{a}{3}}),(-{\displaystyle \frac{a}{3}},-{\displaystyle \frac{a}{3}},-{\displaystyle \frac{a}{3}})$$であるから，回転軸は $X=Y=Z$ である。

軸方向の座標を $$s={\displaystyle \frac{X+Y+Z}{\sqrt{3}}}$$ とおく。正八面体では $-a\leqq X+Y+Z\leqq a$ なので，$$-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ である。 $$X+Y+Z=\sqrt{3}s$$ で切った断面を考える。この断面は軸上の点を含む多角形であり，軸のまわりに回転すると，半径が断面内で軸から最も遠い点までの距離である円板を作る。その半径を $R$ とする。

断面の頂点の1つは，$Z=0$ かつ $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=a$ を満たす点 $({\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}s}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}s-a}{2}},0)$ である。この点の軸への正射影は，軸方向座標が $s$ の点であるから，原点からの距離の二乗から $s^2$ を引けば，軸からの距離の二乗になる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^2}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}s}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}s-a}{2}}\right)}^2-s^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+3s^2}{2}}-s^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+s^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって，求める回転体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_{-a\mathrm{/}\sqrt{3}}^{a\mathrm{/}\sqrt{3}}\pi R^{2}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-a\mathrm{/}\sqrt{3}}^{a\mathrm{/}\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(a^2+s^2)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{a^3}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{a^3}{9\sqrt{3}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10\pi a^3}{9\sqrt{3}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$$ だから $$a^3={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ であり，$$V={\displaystyle \frac{10\pi }{9\sqrt{3}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{5\pi }{9\sqrt{6}}}$$である。

軸を含む平面で見た回転体。軸位置 $s$ の断面は半径 $R(s)$ の円板になる。