東大 2006年度理系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

文科第2問と同じ状況である。最初の $\times$ を含めて3個出る前に成功するには，追加の $\times$ は0個または1個しか許されない。停止時の最後の記号は $\circ$ なので，追加の $\times$ がない場合，最初に追加の $\times$ が出る場合， $\circ$ が出た後に追加の $\times$ が1回だけ出る場合に分ける。理科版では一般式を $n ≧ 3$ としてまとめる。

解答

(1)

最初に $\times$ が1個表示されているので， $\circ$ が2個出るまでに追加で出てよい $\times$ は高々1個である。成功する列は $\times \circ \circ, \times \times \circ \circ, \times \circ \times \circ$ である。それぞれの確率は $(1 - p) p, p (1 - p) p, (1 - p)^{3}$ である。したがって $\begin{aligned} P_{2} & = (1 - p) p + p (1 - p) p + (1 - p)^{3} \\ = (1 - p) (2 p^{2} - p + 1) \end{aligned}$ である。

(2) $n ≧ 3$ とする。追加の $\times$ がない場合，列は $\times \circ \circ \dots \circ$ であり，確率は $(1 - p) p^{n - 1}$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，最初に $\times$ が続き，その後 $\circ$ に変わって $n$ 個の $\circ$ がそろう。確率は $p (1 - p) p^{n - 1}$ である。

追加の $\times$ が，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に現れる場合を考える。この $\times$ は，1個目の $\circ$ の後から $(n - 1)$ 個目の $\circ$ の後までのいずれかに入る。したがって位置は $n - 1$ 通りである。どの位置でも， $\times \to \circ$ ， $\circ \to \times$ ， $\times \to \circ$ という3回の変化があり，残りの $n - 2$ 回は $\circ$ が続く。よって各確率は $(1 - p)^{3} p^{n - 2}$ である。

以上より $\begin{aligned} P_{n} & = (1 - p) p^{n - 1} + p (1 - p) p^{n - 1} + (n - 1) (1 - p)^{3} p^{n - 2} \\ = (1 - p) p^{n - 2} {p + p^{2} + (n - 1) (1 - p)^{2}} \\ = (1 - p) p^{n - 2} {n p^{2} - (2 n - 3) p + n - 1} \end{aligned}$ である。

○が1個増えるごとの2状態漸化式にすると，経路の重複が起こらない．

別解

解法2（2状態の漸化式）

方針

○が $k$ 個出た直後を，追加の×が0個の状態 $A_{k}$ と，1個の状態 $B_{k}$ に分ける．遷移は $A_{k + 1} = p A_{k}$ ， $B_{k + 1} = p B_{k} + (1 - p)^{2} A_{k}$ である．この2状態漸化式を解いて $P_{n} = A_{n} + B_{n}$ を求める．

解答

状態の定義

$k$ 個目の○が出た直後について， $\begin{aligned} A_{k} & = 追加の×がまだ0個である確率, \\ B_{k} & = 追加の×がちょうど1個である確率 \end{aligned}$ とおく．どちらも最後の記号は○である．最初の×から1個目の○へ移る経路を考えると $A_{1} = 1 - p, B_{1} = p (1 - p)$ である．

$A_{k}$ から追加の×を出さずに次の○へ進む確率は $p$ である．
また， $A_{k}$ から○，×，○と移って追加の×を1個使う確率は $(1 - p)^{2}$ である．
$B_{k}$ からは×をもう出せないので，○を続ける確率 $p$ だけが許される．
したがって $A_{k + 1} = p A_{k}, B_{k + 1} = p B_{k} + (1 - p)^{2} A_{k}$ を得る．

第1式から $A_{n} = (1 - p) p^{n - 1}$ である．第2式を順に展開すると $\begin{aligned} B_{n} & = p^{n - 1} B_{1} + (1 - p)^{2} \sum_{j = 1}^{n - 1} p^{n - 1 - j} A_{j} \\ = p^{n} (1 - p) + (n - 1) (1 - p)^{3} p^{n - 2} . \end{aligned}$ よって $\begin{aligned} P_{n} = A_{n} + B_{n} & = (1 - p) p^{n - 2} {p + p^{2} + (n - 1) (1 - p)^{2}} \\ = (1 - p) p^{n - 2} {n p^{2} - (2 n - 3) p + n - 1} . \end{aligned}$ (1) $n = 2$ を代入すると $P_{2} = (1 - p) (2 p^{2} - p + 1)$ である．

(2) $n ≧ 3$ では，上で得た一般式 $P_{n} = (1 - p) p^{n - 2} {n p^{2} - (2 n - 3) p + n - 1}$ が求める答えである．

総評

難度7，計算量6。目安時間は24分。成功条件を記号列で直接数える問題で，追加の $\times$ が0個か1個かという整理が最重要である。最初に追加の $\times$ が出る場合だけ，途中に追加の $\times$ が出る場合と確率が違う。一般式の $(n - 1) (1 - p)^{3} p^{n - 2}$ は，位置数と継続回数を両方説明しておくと説得力が出る。

出典: 東京大学 2006年度前期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

方針

解答

別解

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総評

東京大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系数学第2問