東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$$u={\displaystyle \frac{k}{n}}$$ とおくと $P_k=(u,1-u,0)$ である。$Q_k$ はz軸上で $z\geqq 0$ にあるから $$Q_k=(0,0,h_k)(h_k\geqq 0)$$ と書ける。条件 $P_k{Q}_k=1$ より $u^2+(1-u{)}^2+h_k^2=1$ である。したがって $$h_k^2=1-u^2-(1-u{)}^2=2u(1-u)$$ であり、$$h_k=\sqrt{2u(1-u)}$$ である。

三角形 $O{P}_k{P}_{k+1}$ はxy平面上にある。また $$P_{k+1}=(u+{\displaystyle \frac{1}{n}},1-u-{\displaystyle \frac{1}{n}},0)$$ である。よってその面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\mid u(1-u-{\displaystyle \frac{1}{n}})-(u+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1-u)\mid }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid -{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2n}}}\end{array}$$である。

この三角形を底面と見ると、高さは $Q_k$ のz座標 $h_k$ である。したがって三角錐の体積は$$V_k={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2n}}\cdot \sqrt{2{\displaystyle \frac{k}{n}}(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}={\displaystyle \frac{1}{6n}}\sqrt{2{\displaystyle \frac{k}{n}}(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}$$である。

よって$$\sum _{k=0}^{n-1}{V}_k={\displaystyle \frac{1}{6}}\sum _{k=0}^{n-1}\sqrt{2{\displaystyle \frac{k}{n}}(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}{\displaystyle \frac{1}{n}}$$である。これは $n\to \mathrm{\infty }$ で $${\displaystyle \frac{1}{6}}{\int }_0^1\sqrt{2x(1-x)}dx$$ に収束する。

積分を計算する。ここで $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \varphi$$ とおくと、$x=0$ から $x=1$ までで $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。また$$dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \varphi d\varphi ,\sqrt{2x(1-x)}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos \varphi$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{2x(1-x)}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^2\varphi d\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4\sqrt{2}}}}\end{array}$$である。

したがって求める極限は $${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4\sqrt{2}}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{48}}}$$ である。

極限積分は半円の面積

三角錐の体積を3本の位置ベクトルの行列式で直接求める。極限積分は変数変換で上半円の面積へ帰着する。

$u=k\mathrm{/}n$、$Q_k=(0,0,h_k)$ とおく。距離条件から$$h_k=\sqrt{2u(1-u)}\mathrm{.}$$位置ベクトルを列に並べると$$\mid \det \left(\begin{array}{ccc}u& u+1\mathrm{/}n& 0\\ 1-u& 1-u-1\mathrm{/}n& 0\\ 0& 0& h_k\end{array}\right)\mid ={\displaystyle \frac{h_k}{n}}\mathrm{.}$$従って$$V_k={\displaystyle \frac{h_k}{6n}}\mathrm{.}$$よって求める極限は$${\displaystyle \frac{1}{6}}{\int }_0^1\sqrt{2x(1-x)}dx\mathrm{.}$$$v=2x-1$ とおくと$${\int }_0^1\sqrt{2x(1-x)}dx={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}{\int }_{-1}^1\sqrt{1-v^2}dv\mathrm{.}$$最後の積分は半径1の上半円の面積 $\pi \mathrm{/}2$ だから$${\int }_0^1\sqrt{2x(1-x)}dx={\displaystyle \frac{\pi }{4\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$従って極限は$${\displaystyle \frac{\pi }{24\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{48}}\mathrm{.}$$