東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$ とおく。$a_1=1\mathrm{/}2$ なので $b_1=2$ である。また $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{(1+a_n{)}^2}}$$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1+a_n{)}^2}{a_n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+2+a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n+2+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}}\end{array}$$である。$b_n>0$ だから $b_{n+1}>b_n+2$ である。

これを繰り返すと，$n>1$ に対して $b_n>b_1+2(n-1)=2n$ である。したがって $b_n>2n(n>1)$ が示された。

(2)

(1) より，$n>1$ では $b_n>2n$ である。$a_n=1\mathrm{/}{b}_n$ だから $$0<a_n<{\displaystyle \frac{1}{2n}}(n>1)$$ である。

したがって$$0<{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{1}{2}}+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{2k}})$$である。ここで $$\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}\leqq 1+{\int }_1^n{\displaystyle \frac{dx}{x}}=1+\log n$$ なので，右辺は ${\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\log n))$ 以下であり，$n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(a_1+a_2+\cdots +a_n)=0$$ である。

(3)

(1) より，$n>1$ で $b_n>2n$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{b_n}}<{\displaystyle \frac{1}{2n}}$$ である。漸化式 $$b_{n+1}=b_n+2+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$$ から，$n>1$ では $$b_{n+1}<b_n+2+{\displaystyle \frac{1}{2n}}$$ となる。 $k=2,3,\dots ,n-1$ についてこの不等式を足し合わせると，ある定数項を含めて $$b_n<2n+C+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{k=2}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{k}}$$ と書ける。例えば $C=b_2-4$ としてよい。よって $$2<{\displaystyle \frac{b_n}{n}}<2+{\displaystyle \frac{C}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}\sum _{k=2}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{k}}$$ である。右端の余分な項は，(2)と同様に調和和が $\log n$ 程度であることから0に近づく。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{n}}=2$$ である。

ゆえに $$n{a}_n={\displaystyle \frac{n}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{b_n\mathrm{/}n}}$$ より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。