東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $u=e^x$ とおく。$x>0$ なので $u>1$ である。このとき $$f(x)=F(u),F(u)={\displaystyle \frac{12(u^3-3u)}{u^2-1}}$$ と書ける。 $F(u)$ を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle =12\cdot {\displaystyle \frac{(3u^2-3)(u^2-1)-2u(u^3-3u)}{(u^2-1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12\cdot {\displaystyle \frac{u^4+3}{(u^2-1{)}^2}}}\end{array}$$である。$u>1$ では分母も分子も正なので $F^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ である。したがって $F(u)$ は $u>1$ で狭義単調増加である。

また，$u\to 1+0$ のとき，分母 $u^2-1$ は正で0に近づき，分子 $12(u^3-3u)$ は $-24$ に近づく。よって $$\underset{u\to 1+0}{\lim }F(u)=-\mathrm{\infty }$$ である。一方，$u\to \mathrm{\infty }$ のとき $$F(u)=12u\cdot {\displaystyle \frac{u^2-3}{u^2-1}}\to \mathrm{\infty }$$ である。

したがって $F(u)$ は $(1,\mathrm{\infty })$ 上で連続かつ狭義単調増加で，値域は実数全体である。$u=e^x$ は $x>0$ と $u>1$ を一対一に対応させるので，任意の実数 $a$ に対して $f(x)=a$ を満たす $x>0$ がただ1つ存在する。よって $y=f(x)$ は実数全体を定義域とする逆関数をもつ。

(2)

まず端点に対応する値を確認する。$u=2$ のとき $$f(\log 2)={\displaystyle \frac{12(8-6)}{4-1}}=8$$ であり，$u=3$ のとき $$f(\log 3)={\displaystyle \frac{12(27-9)}{9-1}}=27$$ である。したがって逆関数 $g$ について $$g(8)=\log 2,g(27)=\log 3$$ である。

逆関数の面積関係を用いると $${\int }_8^{27}g(x)dx=27\log 3-8\log 2-{\int }_{\log 2}^{\log 3}f(t)dt$$ である。

残る積分を計算する。$u=e^t$ とおくと $dt=du\mathrm{/}u$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int f(t)dt}& {\displaystyle =\int {\displaystyle \frac{12(u^3-3u)}{u^2-1}}\cdot {\displaystyle \frac{du}{u}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\int 12{\displaystyle \frac{u^2-3}{u^2-1}}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\int 12(1-{\displaystyle \frac{2}{u^2-1}})du}\end{array}$$である。ここで $${\displaystyle \frac{2}{u^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{u-1}}-{\displaystyle \frac{1}{u+1}}$$ だから $$\int f(t)dt=12u-12\log (u-1)+12\log (u+1)$$ である。$u=e^t$ に戻すと $$\int f(t)dt=12e^t+12\log (e^t+1)-12\log (e^t-1)$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 3}f(t)dt}& {\displaystyle =\{36+12\log 4-12\log 2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\{24+12\log 3-12\log 1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(36+12\log 2)-(24+12\log 3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12+12\log 2-12\log 3}\end{array}$$である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_8^{27}g(x)dx}& {\displaystyle =27\log 3-8\log 2-(12+12\log 2-12\log 3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =39\log 3-20\log 2-12}\end{array}$$である。