東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{n}},r_k=O{P}_k$$ とおく。また $\alpha =\mathrm{\angle }O{P}_0{P}_1$ とおく。条件より，すべての $k$ について三角形 $O{P}_{k-1}{P}_k$ の $O$ における角は $\theta$，$P_{k-1}$ における角は $\alpha$ である。

三角形 $O{P}_{k-1}{P}_k$ に正弦定理を用いると，辺 $O{P}_k$ は角 $\alpha$ の向かい，辺 $O{P}_{k-1}$ は角 $\theta +\alpha$ の向かいにあるので $${\displaystyle \frac{r_k}{r_{k-1}}}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin (\theta +\alpha )}}$$ である。右辺は $k$ によらない。ところが $$r_0=1,r_1=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$ であるから，この一定比を $\lambda =1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ とおける。したがって $$r_k={\lambda }^k={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^k$$ である。

次に，$a_k=P_{k-1}{P}_k$ を余弦定理で求める。$O{P}_{k-1}$ と $O{P}_k$ のなす角は $\theta$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_k^2}& {\displaystyle =r_{k-1}^2+r_k^2-2r_{k-1}{r}_k\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r_{k-1}^2(1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta )}\end{array}$$である。よって $$a_k={\lambda }^{k-1}\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta }$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{a}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta }\sum _{k=1}^n{\lambda }^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta }\cdot {\displaystyle \frac{{\lambda }^n-1}{\lambda -1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n\{{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n-1\}\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta }}\end{array}$$である。

ここで $$1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta =(\lambda -1{)}^2+2\lambda (1-\cos \theta )$$ であり，$$1-\cos \theta =2{\sin }^2(\theta \mathrm{/}2)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n^2(1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta )}& {\displaystyle =n^2(\lambda -1{)}^2+4\lambda n^2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+4\lambda {(n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}})}^2}\end{array}$$である。$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $\lambda \to 1$，$n\sin (\pi \mathrm{/}(2n))\to \pi \mathrm{/}2$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\sqrt{1+{\lambda }^2-2\lambda \cos \theta }=\sqrt{1+{\pi }^2}$$である。また$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$$である。以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=(e-1)\sqrt{1+{\pi }^2}$$である。

中心角は一定で、半径 $r_k=O{P}_k$ は公比
$\lambda =1+1\mathrm{/}n$ の等比数列になる。