東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $g(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-5\mathrm{\mid }-4$ とおく。第1の不等式は $y(y-g(x))\leqq 0$ であるから，$y$ は $0$ と $g(x)$ の間にある。

絶対値を外すと$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\sqrt{5}),\\ x^2-9& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq \sqrt{5})\end{array}$$である。また第2の不等式は $$y\leqq -x^2+2x+3=4-(x-1{)}^2$$ である。

まず $-1\leqq x\leqq 1$ では $g(x)=1-x^2\geqq 0$ であり，さらに $$4-(x-1{)}^2-(1-x^2)=2x+2\geqq 0$$ だから，第2の不等式は上端 $1-x^2$ を削らない。したがって $0\leqq y\leqq 1-x^2$ である。

次に $1\leqq x\leqq \sqrt{5}$ では $g(x)=1-x^2\leqq 0$ であり，第2放物線は $0$ 以上である。よって $1-x^2\leqq y\leqq 0$ である。

さらに $\sqrt{5}\leqq x\leqq 3$ では $g(x)=x^2-9\leqq 0$ であり，やはり第2放物線は $0$ 以上である。よって $x^2-9\leqq y\leqq 0$ である。

一方，$x<-1$ では第2放物線 $y=4-(x-1{)}^2$ が第1不等式で許される縦区間より下に来るか，または $y\leqq 0$ と $y\geqq 0$ が両立しないため，面積をもつ部分は残らない。$x>3$ でも同様に面積をもつ部分はない。したがって $D$ は上の3つの縦断面を合わせた領域である。

(2)

面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx+{\int }_1^{\sqrt{5}}(x^2-1)dx+{\int }_{\sqrt{5}}^3(9-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^1+{[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x]}_1^{\sqrt{5}}+{[9x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{\sqrt{5}}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}+({\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}})+(18-{\displaystyle \frac{22\sqrt{5}}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =20-{\displaystyle \frac{20\sqrt{5}}{3}}}\end{array}$$である。よって求める面積は $20-{\displaystyle \frac{20\sqrt{5}}{3}}$ である。

色のついた3部分を縦に切ると、積分区間
$[-1,1]$、$[1,\sqrt{5}]$、$[\sqrt{5},3]$ が見える。