東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$u=x^2$ とおくと，方程式は $u^2-2(s+t)u+(s-t{)}^2=0$ となる。この2次方程式の解は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u}& {\displaystyle =s+t\pm \sqrt{(s+t{)}^2-(s-t{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s+t\pm 2\sqrt{st}}\end{array}$$である。したがって $$u=(\sqrt{s}+\sqrt{t}{)}^2,u=(\sqrt{s}-\sqrt{t}{)}^2$$ であり，$x$ の値は $\pm (\sqrt{s}+\sqrt{t}),\pm \mathrm{\mid }\sqrt{s}-\sqrt{t}\mathrm{\mid }$ である。

ここで $S=s+t$ とおく。$s,t\geqq 0$，$s^2+t^2=1$ より $$1=s^2+t^2\leqq (s+t{)}^2\leqq 2(s^2+t^2)=2$$ であるから $1\leqq S\leqq \sqrt{2}$ である。

逆に，$1\leqq S\leqq \sqrt{2}$ を任意に取る。このとき $$st={\displaystyle \frac{(s+t{)}^2-(s^2+t^2)}{2}}={\displaystyle \frac{S^2-1}{2}}$$ となればよい。$s,t$ を2次方程式 $$X^2-SX+{\displaystyle \frac{S^2-1}{2}}=0$$ の2解として定めると，判別式は $$S^2-2(S^2-1)=2-S^2\geqq 0$$ であり，2解は実数である。また積 ${\displaystyle \frac{S^2-1}{2}}\geqq 0$，和 $S\geqq 0$ だから，2解はともに0以上である。さらに $$s^2+t^2=(s+t{)}^2-2st=S^2-(S^2-1)=1$$ である。よって $S$ は $1\leqq S\leqq \sqrt{2}$ の範囲をちょうど動く。

まず大きい方の正の値を調べる。 $$(\sqrt{s}+\sqrt{t}{)}^2=s+t+2\sqrt{st}=S+\sqrt{2S^2-2}$$ である。右辺は $1\leqq S\leqq \sqrt{2}$ で増加するので，$$1\leqq (\sqrt{s}+\sqrt{t}{)}^2\leqq 2\sqrt{2}$$ である。したがって $$1\leqq \sqrt{s}+\sqrt{t}\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$$ である。

次に小さい方の正の値を調べる。 $$(\sqrt{s}-\sqrt{t}{)}^2=s+t-2\sqrt{st}=S-\sqrt{2S^2-2}$$ である。関数 $$F(S)=S-\sqrt{2S^2-2}$$ は，$1<S\leqq \sqrt{2}$ で $$F^{\mathrm{\prime }}(S)=1-{\displaystyle \frac{2S}{\sqrt{2S^2-2}}}<0$$ となるので減少する。端点では $$F(1)=1,F(\sqrt{2})=0$$ であるから $$0\leqq \mathrm{\mid }\sqrt{s}-\sqrt{t}\mathrm{\mid }\leqq 1$$ である。

以上より，正の値として現れる範囲は $0\leqq x\leqq 1$ と $$1\leqq x\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$$ の和集合，すなわち $$0\leqq x\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$$ である。方程式は $x^2$ だけを含むので，負の解についても対称に同じ範囲が現れる。したがって求める範囲は $$-2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}\leqq x\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$$ である。

条件・検算

2種類の非負根の値域が1で接続し、パラメータの連続性により区間内の各値が実現することを確認する。

$s=\cos \theta ,t=\sin \theta$ と置き、$\theta \in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ 上で4つの根を連続関数として追う。和の根と差の根の値域を端点・対称点から求める。

$s,t\geqq 0$、$s^2+t^2=1$ より$$s=\cos \theta ,t=\sin \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$とおける。$u=x^2$ とすると$$u^2-2(s+t)u+(s-t{)}^2=0$$であり、$$u=(\sqrt{s}+\sqrt{t}{)}^2,u=(\sqrt{s}-\sqrt{t}{)}^2\mathrm{.}$$したがって根は$$\pm (\sqrt{\cos \theta }+\sqrt{\sin \theta }),\pm \mid \sqrt{\cos \theta }-\sqrt{\sin \theta }\mid$$である。

前者の2乗は$$\cos \theta +\sin \theta +2\sqrt{\sin \theta \cos \theta }\mathrm{.}$$これは端点で1、$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ で $2\sqrt{2}$ となり、対称性と単調性から$$1\leqq \sqrt{\cos \theta }+\sqrt{\sin \theta }\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}\mathrm{.}$$後者は $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ で0、両端で1となる連続関数なので$$0\leqq \mid \sqrt{\cos \theta }-\sqrt{\sin \theta }\mid \leqq 1.$$2つの正の値域は端点1でつながる。負の根も対称に現れるから、求める範囲は$$-2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}\leqq x\leqq 2^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$$である。