東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

交点のx座標は$$2\sqrt{3}(x-\cos \theta {)}^2+\sin \theta =-2\sqrt{3}(x+\cos \theta {)}^2-\sin \theta$$を満たす。整理すると $$2\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+\sin \theta =0$$ であるから $$x^2=-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}}-{\cos }^2\theta$$ である。

相異なる2点で交わるためには、右辺が正であることが必要十分である。したがって $$-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}}-{\cos }^2\theta >0$$ である。$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$ を代入すると $$2\sqrt{3}{\sin }^2\theta -\sin \theta -2\sqrt{3}>0$$ である。この2次式の根は $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ であり、$\sin \theta$ は $[-1,1]$ の範囲にあるから、条件は $$\sin \theta <-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ と同値である。

よって一般角としては、整数 $k$ を用いて$${\displaystyle {240}^{\circ }+{360}^{\circ }k<\theta <{300}^{\circ }+{360}^{\circ }k(k\in \mathbb{Z})}$$である。

一般角での許容区間

放物線の右辺の差を $x$ の二次式とみなし、最小値が負になる条件を調べる。最後に基本区間の解へ周期を付ける。

2つの右辺の差は$$D(x)=4\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+2\sin \theta \mathrm{.}$$$D(x)=0$ が相異なる2実根をもつための必要十分条件は、$x=0$ での最小値が負になること、すなわち$$4\sqrt{3}{\cos }^2\theta +2\sin \theta <0$$である。$s=\sin \theta$ とおけば$$2\sqrt{3}{s}^2-s-2\sqrt{3}>0.$$根は $-\sqrt{3}\mathrm{/}2$ と $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから、$-1\leqq s\leqq 1$ では$$\sin \theta <-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$従って一般角の答えは$${240}^{\circ }+{360}^{\circ }k<\theta <{300}^{\circ }+{360}^{\circ }k(k\in \mathbb{Z})\mathrm{.}$$