東京大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$F(x)=\sin x-x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$$とおくと $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x\geqq 0$ であり、$F(0)=F^{\mathrm{\prime }}(0)=F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。したがって順に積分して $F(x)\geqq 0$ を得る。

同様に$$G(x)=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}-\sin x$$とおくと $$G^{(5)}(x)=1-\cos x\geqq 0$$ で、$$G(0)=G^{\mathrm{\prime }}(0)=\cdots =G^{(4)}(0)=0$$ である。よって $G(x)\geqq 0$ であり、二つの不等式が示された。

(2)

(a) 回転体の全体積は$$\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$$だから、一部分の体積は ${\pi }^2\mathrm{/}(4n)$ である。対称性より $x=\pi \mathrm{/}2$ も切断位置であり、$a_n$ との間が一部分だから$$\pi {\int }_{a_n}^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4n}}\mathrm{.}$$$h_n=\pi \mathrm{/}2-a_n$ とおくと$${\int }_0^{h_n}{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{\pi }{4n}}\mathrm{.}$$ここから $h_n\to 0$ であり、$$h^{-1}{\int }_0^h{\cos }^{2}tdt\to 1$$なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{h}_n={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)(b) 最初の一部分について$${\int }_0^{b_n}{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{\pi }{4n}}\mathrm{.}$$(1)から $\sin x\mathrm{/}x\to 1$ であるから$${\displaystyle \frac{1}{b^3}}{\int }_0^b{\sin }^{2}xdx={\int }_0^1{\left({\displaystyle \frac{\sin (bt)}{bt}}\right)}^2{t}^{2}dt⟶{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$b_n^3\sim {\displaystyle \frac{3\pi }{4n}}\mathrm{.}$$よって $n^p{b}_n$ が0でない有限値に収束するのは$$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$$のときだけで、その極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{1\mathrm{/}3}{b}_n={\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)}^{1\mathrm{/}3}$$である。

(1) は差の導関数の符号を0から順に戻して証明する。
(2)では$$\int {\sin }^{2}xdx$$の正確な式を使い、中央では
$h$ の1次項、端では $b$ の3次項が最初に残ることを示す。

(1) $$F(x)=\sin x-x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$$とおくと$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x\geqq 0,F(0)=F^{\mathrm{\prime }}(0)=F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0.$$したがって $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},F^{\mathrm{\prime }},F$ は順に非負となり、$$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\mathrm{.}$$同様に$$G(x)=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}-\sin x$$とおけば$$G^{(5)}(x)=1-\cos x\geqq 0$$で、0における4階までの導関数はすべて0である。よって $G(x)\geqq 0$、
すなわち$$\sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}\mathrm{.}$$(2)
全体積は$$\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}},$$したがって1部分の体積は ${\pi }^2\mathrm{/}(4n)$ である。

(2) (a)
$h_n=\pi \mathrm{/}2-a_n$ とおくと$${\int }_0^{h_n}{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{\pi }{4n}}\mathrm{.}$$正確には$${\int }_0^h{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{h}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 2h}{4}}\mathrm{.}$$$\sin 2h\mathrm{/}(2h)\to 1$ だから左辺を $h$ で割った値は1に収束する。
よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a_n)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)(b)$${\int }_0^{b_n}{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{\pi }{4n}}$$であり、$${\int }_0^b{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{b}{2}}-{\displaystyle \frac{\sin 2b}{4}}\mathrm{.}$$(1)の評価から $\sin x\mathrm{/}x\to 1$ が従い、変数変換 $x=bu$ により$${\displaystyle \frac{1}{b^3}}{\int }_0^b{\sin }^{2}xdx={\int }_0^1{\left({\displaystyle \frac{\sin (bu)}{bu}}\right)}^2{u}^{2}du⟶{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$b_n^3\sim {\displaystyle \frac{3\pi }{4n}}\mathrm{.}$$ゆえに0でない有限な極限をもつ指数は$$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$$だけであり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{1\mathrm{/}3}{b}_n={\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)}^{1\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$