東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

交点のx座標は$$2\sqrt{3}(x-\cos \theta {)}^2+\sin \theta =-2\sqrt{3}(x+\cos \theta {)}^2-\sin \theta$$を満たす。移項すると $$2\sqrt{3}\{(x-\cos \theta {)}^2+(x+\cos \theta {)}^2\}+2\sin \theta =0$$ である。ここで $$(x-\cos \theta {)}^2+(x+\cos \theta {)}^2=2x^2+2{\cos }^2\theta$$ だから $$2\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+\sin \theta =0$$ である。したがって $$x^2=-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}}-{\cos }^2\theta$$ を得る。

相異なる2点で交わるためには、この右辺が正であることが必要十分である。右辺が0なら交点は1点、負なら交点はない。よって条件は $$-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}}-{\cos }^2\theta >0$$ である。$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$ を用いると $$-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}}-1+{\sin }^2\theta >0$$ であり、両辺に $2\sqrt{3}$ を掛けて $$2\sqrt{3}{\sin }^2\theta -\sin \theta -2\sqrt{3}>0$$ となる。この2次式の根は $$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。後者は $1$ より大きく、$\sin \theta$ の値としては現れない。したがって $-1\leqq \sin \theta \leqq 1$ の範囲では $$\sin \theta <-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ と同値である。 $$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$$ でこれを満たすのは $${\displaystyle {240}^{\circ }<\theta <{300}^{\circ }}$$ である。端点では交点が1点になるため含まない。

交点の個数は差の最小値で決まる

2つの右辺の差を $x$ の上に凸な二次式として見る。相異なる2交点をもつ条件は、その二次式の最小値が負になることである。

上側の放物線の右辺から下側の右辺を引くと$$D(x)=4\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+2\sin \theta \mathrm{.}$$$D(x)$ は $x=0$ で最小となり、$x$ の偶関数である。したがって $D(x)=0$ が相異なる2実根をもつための必要十分条件は$$D(0)=4\sqrt{3}{\cos }^2\theta +2\sin \theta <0.$$$s=\sin \theta$ とおくと$$2\sqrt{3}{s}^2-s-2\sqrt{3}>0.$$この二次式の根は$$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$であり、$-1\leqq s\leqq 1$ だから条件は$$\sin \theta <-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$$$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$$ で読むと$${240}^{\circ }<\theta <{300}^{\circ }\mathrm{.}$$