東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f$ による像の座標を $(X,Y)$ とおく。すなわち $X=3x+y,Y=-2x$ である。これを元の座標について解くと，$$x=-{\displaystyle \frac{Y}{2}},y=X+{\displaystyle \frac{3Y}{2}}$$ である。

点 $(x,y)$ が $l_n$，すなわち $a_{n}x+b_{n}y=1$ 上にあるとき，像 $(X,Y)$ は $$a_n(-{\displaystyle \frac{Y}{2}})+b_n(X+{\displaystyle \frac{3Y}{2}})=1$$ を満たす。整理すると $$b_{n}X+{\displaystyle \frac{3b_n-a_n}{2}}Y=1$$ である。したがって，像の直線 $l_{n+1}$ を $a_{n+1}X+b_{n+1}Y=1$ と書けば，$$a_{n+1}=b_n,b_{n+1}={\displaystyle \frac{3b_n-a_n}{2}}$$ である。文字 $(X,Y)$ を再び $(x,y)$ と書けば，これが求める関係式である。

(2) $l_0$ は $3x+2y=1$ であるから，$a_0=3,b_0=2$ である。(1)の関係式から $a_{n+1}=b_n$ なので，$$a_{n+2}=b_{n+1}={\displaystyle \frac{3b_n-a_n}{2}}={\displaystyle \frac{3a_{n+1}-a_n}{2}}$$ すなわち $2a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n=0$ である。初期値 $a_0=3,a_1=2$ から $a_n=1+2^{1-n}$ が得られる。実際，この式は $n=0,1$ で初期値を満たし，上の漸化式にも代入して確かめられる。さらに $b_n=a_{n+1}$ より $b_n=1+2^{-n}$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n}x+b_{n}y}& {\displaystyle =(1+2^{1-n})x+(1+2^{-n})y}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x+y+2^{-n}(2x+y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-2^{-n})(x+y)+2^{-n}(3x+2y)}\end{array}$$である。

すべての $D_n$ に含まれる点は，すべての $n$ について $a_{n}x+b_{n}y>1$ を満たす点である。特に $n=0$ から $3x+2y>1$ が必要である。また $n$ を大きくすると $2^{-n}\to 0$ だから，もし $x+y<1$ なら十分大きい $n$ で $a_{n}x+b_{n}y<1$ となってしまう。よって $x+y\geqq 1$ も必要である。

逆に $$3x+2y>1,x+y\geqq 1$$ が成り立つとする。このとき任意の $n\geqq 0$ について $$a_{n}x+b_{n}y=(1-2^{-n})(x+y)+2^{-n}(3x+2y)$$ であり，$0<2^{-n}\leqq 1$ である。右辺は，$x+y\geqq 1$ と $3x+2y>1$ の重み付き平均で，しかも後者の重み $2^{-n}$ は正であるから，$a_{n}x+b_{n}y>1$ となる。

したがって求める範囲は $$x+y\geqq 1,3x+2y>1$$ を同時に満たす点全体である。図示すると，直線 $x+y=1$ の上側の半平面は境界を含み，直線 $3x+2y=1$ の上側の半平面は境界を含まない。その共通部分が答えである。

青い共通部分が答え。実線 $x+y=1$ は含み、破線 $3x+2y=1$ は含まない。