東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$P=(u,u^2),Q=(v,v^2)$$ とおく。$R$ は線分 $PQ$ を $1:2$ に内分する点であるから $$a={\displaystyle \frac{2u+v}{3}},b={\displaystyle \frac{2u^2+v^2}{3}}$$ である。第1式から $v=3a-2u$ である。これを $b$ に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2u^2+(3a-2u{)}^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2u^2-4au+3a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(u-a{)}^2+a^2}\end{array}$$となる。

次に $u$ の範囲を求める。$P,Q$ はどちらも $-1\leqq x\leqq 1$ の曲線上を動くので $$-1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1$$ である。$v=3a-2u$ を用いると $-1\leqq 3a-2u\leqq 1$ すなわち $${\displaystyle \frac{3a-1}{2}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{3a+1}{2}}$$ である。したがって許される $u$ の範囲は$$\max (-1,{\displaystyle \frac{3a-1}{2}})\leqq u\leqq \min (1,{\displaystyle \frac{3a+1}{2}})$$である。 $-1\leqq a\leqq 1$ のとき，$u=a$ はこの区間に含まれる。よって $b=2(u-a{)}^2+a^2$ の最小値は $a^2$ である。

最大値は許される区間の端点で起こる。端点と $a$ との距離を比較する。 $-1\leqq a\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}$ では，区間は $$-1\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{3a+1}{2}}$$ であり，$u=-1$ の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^2+2(a+1{)}^2$ である。 $-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 0$ では，区間は $${\displaystyle \frac{3a-1}{2}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{3a+1}{2}}$$ であり，左端の方が $a$ から遠い。よって最大値は $$a^2+2{\left({\displaystyle \frac{1-a}{2}}\right)}^2=a^2+{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{2}}$$ である。 $0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$ では，同じ区間で右端の方が $a$ から遠い。よって最大値は $$a^2+2{\left({\displaystyle \frac{1+a}{2}}\right)}^2=a^2+{\displaystyle \frac{(1+a{)}^2}{2}}$$ である。 ${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 1$ では，区間は $${\displaystyle \frac{3a-1}{2}}\leqq u\leqq 1$$ であり，$u=1$ の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^2+2(1-a{)}^2$ である。

以上より，点 $(a,b)$ が $D$ に属する条件は $$-1\leqq a\leqq 1,a^2\leqq b\leqq M(a)$$ である。ただし$$M(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^2+2(a+1{)}^2& (-1\leqq a\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{2}}& (-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 0),\\ a^2+{\displaystyle \frac{(1+a{)}^2}{2}}& (0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}),\\ a^2+2(1-a{)}^2& ({\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 1)\end{array}$$である。

(2)

求める領域は，横軸を $a$，縦軸を $b$ と見ると，$-1\leqq a\leqq 1$ において，下側を放物線 $b=a^2$ で，上側を(1)の折れ目をもつ曲線 $b=M(a)$ で囲まれる部分である。上側境界は $a=-1\mathrm{/}3,0,1\mathrm{/}3$ で式が切り替わるので，図示ではこの3点を境に4つの放物線弧をつなぐ。

下端は $P=Q$ のときの $b=a^2$、上端は許容区間の遠い端点で決まる。

$u=a+w$ と置くと内分条件から $v=a-2w$ となり、$b=a^2+2w^2$ と一気に整理できる。あとは $u,v\in [-1,1]$ が与える $w$ の区間で $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ の最大値を調べる。

(1)

$P=(u,u^2),Q=(v,v^2)$ とする。内分点 $R=(a,b)$ について$$a={\displaystyle \frac{2u+v}{3}}$$だから、$u=a+w$ とおけば $v=a-2w$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(a+w{)}^2+(a-2w{)}^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+2w^2\mathrm{.}}\end{array}$$$-1\leqq u,v\leqq 1$ より$$\max (-1-a,{\displaystyle \frac{a-1}{2}})\leqq w\leqq \min (1-a,{\displaystyle \frac{a+1}{2}})\mathrm{.}$$$-1\leqq a\leqq 1$ では $w=0$ がこの区間に入るので、$b$ の
最小値は $a^2$ である。最大値は $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ が大きい方の端点で生じ、
端点の切り替わりを調べると$$b\leqq M(a),M(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^2+2(a+1{)}^2& (-1\leqq a\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}),\\ a^2+{\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{2}}& (-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 0),\\ a^2+{\displaystyle \frac{(1+a{)}^2}{2}}& (0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}),\\ a^2+2(1-a{)}^2& ({\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$よって領域 $D$ の必要十分条件は$$-1\leqq a\leqq 1,a^2\leqq b\leqq M(a)$$である。

(2) この上下の境界を $ab$ 平面に描けば、解法1の図の領域を得る。