東京大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $a=y_0>0$ とおく。曲線上では $x=4\mathrm{/}{y}^2$ だから$$P_0=({\displaystyle \frac{4}{a^2}},a)\mathrm{.}$$$dx\mathrm{/}dy=-8\mathrm{/}{y}^3$ より、$P_0$ における接線の傾きは $dy\mathrm{/}dx=-a^3\mathrm{/}8$ である。この接線と曲線上の点 $(4\mathrm{/}{y}^2,y)$ を連立すると$$2y^3-3a{y}^2+a^3=0$$を得る。左辺は$$(y-a{)}^2(2y+a)$$と因数分解できるので、接点以外の交点では $y=-a\mathrm{/}2$ である。したがって$$P_1=({\displaystyle \frac{16}{a^2}},-{\displaystyle \frac{a}{2}})\mathrm{.}$$同じ関係を $P_1$ に用いると、次の交点の $y$ 座標は $-(-a\mathrm{/}2)\mathrm{/}2=a\mathrm{/}4$ だから$$P_2=({\displaystyle \frac{64}{a^2}},{\displaystyle \frac{a}{4}})\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{P_1{P}_0}=(-{\displaystyle \frac{12}{a^2}},{\displaystyle \frac{3a}{2}}),\overrightarrow{P_1{P}_2}=({\displaystyle \frac{48}{a^2}},{\displaystyle \frac{3a}{4}})$$より$$T={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid -{\displaystyle \frac{12}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3a}{4}}-{\displaystyle \frac{3a}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{48}{a^2}}\mid ={\displaystyle \frac{81}{2a}}\mathrm{.}$$直線 $P_0{P}_1$ と直線 $P_1{P}_2$ をそれぞれ $y$ で表すと$$x={\displaystyle \frac{12}{a^2}}-{\displaystyle \frac{8y}{a^3}},x={\displaystyle \frac{48}{a^2}}+{\displaystyle \frac{64y}{a^3}}$$である。したがって領域を水平に切ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-a\mathrm{/}2}^{a\mathrm{/}4}\{{\displaystyle \frac{48}{a^2}}+{\displaystyle \frac{64y}{a^3}}-({\displaystyle \frac{12}{a^2}}-{\displaystyle \frac{8y}{a^3}})\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{a\mathrm{/}4}^a\{{\displaystyle \frac{4}{y^2}}-({\displaystyle \frac{12}{a^2}}-{\displaystyle \frac{8y}{a^3}})\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{81}{4a}}+{\displaystyle \frac{27}{4a}}={\displaystyle \frac{27}{a}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$(3) $\mathrm{\angle }{P}_0{P}_1{P}_2$ が直角である条件は、(2)の2ベクトルの内積が0となることである。よって$$-{\displaystyle \frac{576}{a^4}}+{\displaystyle \frac{9a^2}{8}}=0,a^6=512.$$$a>0$ だから$$y_0=a=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(4) (3)では $P_0{P}_2$ が直角三角形の斜辺であり、外接円の直径になる。$$P_0{P}_2^2={\left({\displaystyle \frac{60}{a^2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3a}{4}}\right)}^2\mathrm{.}$$$a=2\sqrt{2}$ を代入すると $P_0{P}_2^2=243\mathrm{/}4$ である。したがって外接円の半径の二乗は $243\mathrm{/}16$ であり、その面積は$${\displaystyle \frac{243\pi }{16}}$$である。

正規化座標では$$P_0=(1,1),P_1=(4,-1\mathrm{/}2),P_2=(16,1\mathrm{/}4)$$ と固定される。

$a=y_0$ とし、$X=a^{2}x\mathrm{/}4,Y=y\mathrm{/}a$ で正規化する。曲線は $X{Y}^2=1$、3点は $(1,1),(4,-1\mathrm{/}2),(16,1\mathrm{/}4)$ となり、面積比は $a$ によらず固定される。(3)(4)は角を保たない変換なので元の座標へ戻す。

(1) $a=y_0>0$ とする。接点の $y$ 座標を $c$ とすると、
接線と $x=4\mathrm{/}{y}^2$ の接点以外の交点は $y=-c\mathrm{/}2$ となる。
したがって$$P_0=({\displaystyle \frac{4}{a^2}},a),P_1=({\displaystyle \frac{16}{a^2}},-{\displaystyle \frac{a}{2}}),P_2=({\displaystyle \frac{64}{a^2}},{\displaystyle \frac{a}{4}})\mathrm{.}$$(2) 正規化座標$$X={\displaystyle \frac{a^{2}x}{4}},Y={\displaystyle \frac{y}{a}}$$を用いると、曲線と3点は$$X{Y}^2=1,(X,Y)=(1,1),(4,-1\mathrm{/}2),(16,1\mathrm{/}4)$$になる。三角形の面積は$$T^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \mid \begin{array}{cc}-3& 3\mathrm{/}2\\ 12& 3\mathrm{/}4\end{array}\mid \mid ={\displaystyle \frac{81}{8}}\mathrm{.}$$2本の接線は $X=3-2Y$、$X=12+16Y$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle ={\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}4}\{(12+16Y)-(3-2Y)\}dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{1\mathrm{/}4}^1\{{\displaystyle \frac{1}{Y^2}}-(3-2Y)\}dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{81}{16}}+{\displaystyle \frac{27}{16}}={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$元の座標への変換はすべての面積を同じ倍率 $4\mathrm{/}a$ にするので$${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{T^{\mathrm{\prime }}}{S^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$(3) 角度はこの正規化では保存されないので元へ戻る。$$\overrightarrow{P_1{P}_0}=(-{\displaystyle \frac{12}{a^2}},{\displaystyle \frac{3a}{2}}),\overrightarrow{P_1{P}_2}=({\displaystyle \frac{48}{a^2}},{\displaystyle \frac{3a}{4}})\mathrm{.}$$内積を0とすると $a^6=512$ であり、$$y_0=a=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(4) このとき $P_0{P}_2$ が外接円の直径で、$$P_0{P}_2^2={\left({\displaystyle \frac{60}{a^2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3a}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{243}{4}}\mathrm{.}$$よって外接円の面積は$${\displaystyle \frac{243\pi }{16}}$$である。