東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) 曲線 $C$ の式は $$y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}{x}^2+2}$$ である。右辺の平方根は正なので $y-\frac{1}{2}x>0$ であり，両辺を移項して2乗すると $${(y-\frac{1}{2}x)}^2=\frac{1}{4}{x}^2+2$$ である。展開して整理すると $y^2-xy=2$ を得る。したがって $y>0$ で $x=y-\frac{2}{y}$ である。また $y-x=\frac{2}{y}$ である。

曲線上の点を $P=(x,y)$ とする。$P$ を通る $x$ 軸に平行な直線は高さ $y$ の水平線であり，直線 $y=x$ との交点は $H=(y,y)$ である。三角形 $OPH$ の面積は $$[\mathrm{△}OPH]=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }xy-y^2\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}y(y-x)$$ である。ここで $y>0$ かつ $y-x=2\mathrm{/}y$ だから $$[\mathrm{△}OPH]=\frac{1}{2}y\cdot \frac{2}{y}=1$$ である。

したがって $P_1,P_2$ のどちらについても面積は1であり，$$[\mathrm{△}O{P}_1{H}_1]=[\mathrm{△}O{P}_2{H}_2]$$ である。

(2) (1) より，曲線は $y>0$ を用いて $x=y-\frac{2}{y}$ と表せる。微分すると $$\frac{dx}{dy}=1+\frac{2}{y^2}>0$$ であるから，$x$ は $y$ の増加関数である。よって $x_1<x_2$ なら $y_1<y_2$ である。

曲線上の点を $P(y)=(x(y),y)$ とする。$y$ から $y+dy$ までの小さな部分を考えると，原点と2点 $P(y),P(y+dy)$ がつくる微小三角形の面積は $\frac{1}{2}\mid x(y)y^{\mathrm{\prime }}(dy)-y{x}^{\mathrm{\prime }}(dy)\mid$ に対応する。向きを $y_1$ から $y_2$ へ取ると，求める面積は $$\frac{1}{2}{\int }_{y_1}^{y_2}(y\frac{dx}{dy}-x)dy$$ である。

ここで$$y\frac{dx}{dy}-x=y(1+\frac{2}{y^2})-(y-\frac{2}{y})=\frac{4}{y}$$である。したがって面積は$$\frac{1}{2}{\int }_{y_1}^{y_2}\frac{4}{y}dy=2[\log y{]}_{y_1}^{y_2}=2\log \frac{y_2}{y_1}$$である。

曲線と2本の動径

曲線弧と $O{P}_1,O{P}_2$ が囲む領域を、細い三角形へ分ける。

原点から曲線上の点へ引いた動径で領域を扇形分割する。極角を $\theta$、動径の傾きを $q=x\mathrm{/}y=\cot \theta$ とおくと、曲線条件から $y^2(1-q)=2$ となる。極座標の面積を $q$ で積分する。

(1) 曲線の式を移項して2乗すると$$y^2-xy=2,y>0$$を得る。$P=(x,y)$ に対して $H=(y,y)$ だから$$[\mathrm{△}OPH]=\frac{1}{2}\mid xy-y^2\mid =\frac{1}{2}(y^2-xy)=1.$$よって2つの三角形の面積はともに1である。

(2) 曲線上で$$q=\frac{x}{y}$$とおく。曲線条件は$$y^2(1-q)=2$$となる。さらに $x=y-2\mathrm{/}y$ より $x$ と $y$ は同時に増加するので、$x_1<x_2$ から$$y_1<y_2,q_1<q_2$$が従う。

曲線上の点の極座標を $(r,\theta )$ とすれば $$\begin{gathered} q= \\ \cot \theta \end{gathered}$$ である。また$$r^2=y^2(1+{\cot }^2\theta )=\frac{2(1+q^2)}{1-q},d\theta =-\frac{dq}{1+q^2}\mathrm{.}$$$q$ が増えると $\theta$ は減るので、求める面積 $T$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{{\theta }_2}^{{\theta }_1}{r}^{2}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{q_1}^{q_2}\frac{dq}{1-q}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log \frac{1-q_1}{1-q_2}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $1-q_i=2\mathrm{/}{y}_i^2$ だから$$T=\log \frac{2\mathrm{/}{y}_1^2}{2\mathrm{/}{y}_2^2}=2\log \frac{y_2}{y_1}$$である。