東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

途中で4枚とも同じ色になったものは以後数えない。未終了のまま $n$ 回後に白黒が2枚ずつである確率を $q_n$，白黒が1枚と3枚に分かれている確率を $r_n$ とする。初期条件は $q_0=1,r_0=0$ である。

白黒2枚ずつの状態からは，どのカードを選んでも白黒1枚と3枚の状態になる。白黒1枚と3枚の状態からは，少数色の1枚を選ぶと確率 $1\mathrm{/}4$ で同色4枚になり，多数色の3枚のどれかを選ぶと確率 $3\mathrm{/}4$ で白黒2枚ずつに戻る。したがって未終了確率は $$q_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}{r}_n,r_{n+1}=q_n$$ を満たし，$n+1$ 回目に初めて同色4枚になる確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_n$ である。

この漸化式から$$q_{2j}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^j,r_{2j+1}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^j(j=0,1,2,\dots )$$である。よって求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}}& (n\text{ が偶数},n\geqq 2),\\ 0& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。

(2)

6枚の場合も，色の名前ではなく枚数の分かれ方だけを見る。未終了のまま $n$ 回後に，白黒が $3$ 枚と $3$ 枚，$2$ 枚と $4$ 枚，$1$ 枚と $5$ 枚に分かれている確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。初期条件は $$a_0=1,b_0=0,c_0=0$$ である。

各状態からの推移を調べる。$3$ 対 $3$ からはどのカードを選んでも $2$ 対 $4$ になる。$2$ 対 $4$ からは，多数色の4枚のどれかを選ぶと確率 $4\mathrm{/}6=2\mathrm{/}3$ で $3$ 対 $3$ に戻り，少数色の2枚のどれかを選ぶと確率 $2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$ で $1$ 対 $5$ になる。$1$ 対 $5$ からは，多数色を選ぶと確率 $5\mathrm{/}6$ で $2$ 対 $4$ に戻り，少数色を選ぶと確率 $1\mathrm{/}6$ で同色6枚になって終了する。

したがって未終了確率について$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n,b_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n,c_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n$$が成り立ち，$n+1$ 回目に初めて同色6枚になる確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n$ である。 $n\geqq 1$ では，$a_n$ と $c_n$ はともに $b_{n-1}$ から作られ，$$a_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_{n-1},c_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_{n-1}$$ だから $a_n=2c_n$ である。よって $$b_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n={\displaystyle \frac{17}{6}}{c}_n={\displaystyle \frac{17}{18}}{b}_{n-1}$$ となる。初期状態から $b_1=1$ であるため，$$b_{2j-1}={\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{j-1}(j=1,2,\dots )$$ であり，さらに$$c_{2j}={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_{2j-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{j-1}$$である。 $n$ 回目に初めて同色6枚になるには，$n-1$ 回後に $c$ 型で，最後に少数色を選ぶ必要がある。したがって $n=2j+1$ $(j\geqq 1)$ のとき，$${\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_{2j}={\displaystyle \frac{1}{18}}{\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{j-1}$$ であり，偶数回では終了できない。よって求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{18}}{\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n-3}{2}}}}& (n\text{ が奇数},n\geqq 3),\\ 0& (n\text{ が偶数，または }n=1)\end{array}$$である。

6枚の場合の未終了状態と吸収状態。矢印上は1回の操作で移る確率。

(1) は2回ごとに $2:2$ へ戻るか終了するかを見る。(2)も初回で $2:4$ へ移った後、2回ごとに $2:4$ へ戻るか終了するかを見る。各2回組の「戻る確率」と「終了確率」を直接計算すれば、初到達確率は等比数列になる。

(1)
白黒 $2:2$ から1回で必ず $1:3$ へ移り、次の1回で確率 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ で終了し、確率 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ で $2:2$ に戻る。したがって $n=2j$ のとき、最初の $j-1$ 組で戻り、最後の組で終了する確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。奇数回では終了できない。よって$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}& (n\text{ が偶数},n\geqq 2),\\ 0& (n\text{ が奇数})\end{array}$$となる。

(2)
白黒 $3:3$ から初回で必ず $2:4$ へ移る。$2:4$ から続く2回で再び $2:4$ へ戻る経路は$$2:4⟶3:3⟶2:4,2:4⟶1:5⟶2:4$$の2つで、その確率の和は$${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{17}{18}}$$である。一方、この2回で初めて終了する確率は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$$である。

したがって $n=2j+1(j\geqq 1)$ のとき、初回の後に $j-1$ 組だけ戻り、最後の組で終了する確率は$${\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{18}}\mathrm{.}$$偶数回および $n=1$ では終了できないので、答えは$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{18}}{\left({\displaystyle \frac{17}{18}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n-3}{2}}}& (n\text{ が奇数},n\geqq 3),\\ 0& (n\text{ が偶数、または }n=1)\end{array}$$である。