東京大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$C_3$の半径は$t$であるから，$t>0$である。$C_3$が$C_1$に内接することは，原点と$(a,b)$の距離が$2-t$であることを意味する。したがって $a^2+b^2=(2-t{)}^2$ である。また，$C_3$が$C_2$に外接することは，$(1,0)$と$(a,b)$の距離が$t+1$であることを意味するので $(a-1{)}^2+b^2=(t+1{)}^2$ である。

この2式の差をとると $$a^2-(a-1{)}^2=(2-t{)}^2-(t+1{)}^2$$ であり，左辺と右辺を整理して $2a-1=3-6t$ を得る。よって $a=2-3t$ である。

これを$a^2+b^2=(2-t{)}^2$に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b^2}& {\displaystyle =(2-t{)}^2-(2-3t{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(4-4t+t^2)-(4-12t+9t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8t-8t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8t(1-t)}\end{array}$$である。$b$は正の実数なので，$b^2>0$でなければならない。したがって $8t(1-t)>0$ より $0<t<1$ である。この範囲では$b>0$だから $$b=\sqrt{8t(1-t)}$$ と決まる。以上より $$a=2-3t,b=\sqrt{8t(1-t)},0<t<1$$ である。

(2)

(1) より $b^2=8t(1-t)$ である。$b>0$なので，$b$の最大化は$b^2$の最大化と同じである。平方完成すると$$8t(1-t)=8\{{\displaystyle \frac{1}{4}}-{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\}=2-8{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$である。$0<t<1$において$t=1\mathrm{/}2$は許されるから，このとき$b^2$は最大値$2$をとる。よって$b$の最大値は $\sqrt{2}$ である。

3円の位置関係

破線の三角形の高さが $b$ である。

3円の中心を $O$，$I=(1,0)$，$M=(a,b)$ とおく。接する条件から三角形 $OIM$ の3辺は $1,2-t,1+t$ となる。射影で $a$ を、ヘロンの公式で高さ $b$ を求めると、$t$ の範囲と最大値まで幾何的に処理できる。

(1)
円 $C_1,C_2,C_3$ の中心をそれぞれ $O,I,M$ とする。
接する条件から$$OI=1,OM=2-t,IM=1+t$$である。$M=(a,b)$ で $b>0$ だから、三角形 $OIM$ は退化しない。
したがって三角不等式$$\mid (2-t)-(1+t)\mid <1$$より$$\mid 1-2t\mid <1,\text{すなわち}0<t<1$$である。

$M$ から直線 $OI$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると
$OH=a$ である。余弦定理、または射影の公式から$$a={\displaystyle \frac{O{M}^2+O{I}^2-I{M}^2}{2OI}}={\displaystyle \frac{(2-t{)}^2+1-(1+t{)}^2}{2}}=2-3t\mathrm{.}$$三角形 $OIM$ の半周長は$${\displaystyle \frac{1+(2-t)+(1+t)}{2}}=2$$である。よってヘロンの公式により、その面積 $\mathrm{\Delta }$ は$$\mathrm{\Delta }=\sqrt{2\{2-1\}\{2-(2-t)\}\{2-(1+t)\}}=\sqrt{2t(1-t)}\mathrm{.}$$一方、底辺 $OI=1$、高さ $MH=b$ だから$$\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{1}{2}}b\mathrm{.}$$したがって$$b=2\sqrt{2t(1-t)}=\sqrt{8t(1-t)}\mathrm{.}$$以上より$$a=2-3t,b=\sqrt{8t(1-t)},0<t<1.$$(2)$$b^2=8t(1-t)=2-8{(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$である。$0<t<1$ の範囲で $t=1\mathrm{/}2$ は許されるので、$$\max b^2=2.$$$b>0$ より、$b$ の最大値は$$\sqrt{2}$$である。