東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

円の半径を $$R={\displaystyle \frac{65}{8}}$$ とする。円の弦の長さは，その弦に対応する中心角を $2\phi$ とすると $2R\sin \phi$ である。

辺$BC$，$CD$に対応する中心角の半分をどちらも$\beta$とおく．等しい弦に対応する弧は小弧か大弧であるが，一方が大弧で他方が小弧なら，その2弧だけで円周全体を占めてしまう．四角形の残り2辺があるので，両方とも小弧であり$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である．$BC=CD=13$ より $$13=2R\sin \beta ={\displaystyle \frac{65}{4}}\sin \beta$$ である。したがって $\sin \beta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$ であり，$0<\beta <\pi \mathrm{/}2$ だから $\cos \beta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。

次に，辺 $AB$，$DA$ に対応する中心角の半分をそれぞれ $\alpha ,\delta$ とする。4つの弧で円を一周するので $$\alpha +\beta +\beta +\delta =\pi$$ すなわち $$\alpha +\delta =\pi -2\beta$$ である。よって $$\cos (\alpha +\delta )=\cos (\pi -2\beta )=-\cos 2\beta$$ であり，$$\cos 2\beta ={\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^2=-{\displaystyle \frac{7}{25}}$$ だから $$\cos (\alpha +\delta )={\displaystyle \frac{7}{25}}$$ である。また$$\sin (\alpha +\delta )=\sin (2\beta )=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$$である。

周の長さが44で，$BC=CD=13$ だから $AB+DA=44-13-13=18$ である。一方 $$AB=2R\sin \alpha ,DA=2R\sin \delta$$ であるから $${\displaystyle \frac{65}{4}}(\sin \alpha +\sin \delta )=18$$ であり，$$\sin \alpha +\sin \delta ={\displaystyle \frac{72}{65}}$$ となる。

和積公式より$$\sin \alpha +\sin \delta =2\sin {\displaystyle \frac{\alpha +\delta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\delta }{2}}$$である。ここで$$\sin {\displaystyle \frac{\alpha +\delta }{2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos (\alpha +\delta )}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{7}{25}}}{2}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$である。したがって $$2\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\delta }{2}}={\displaystyle \frac{72}{65}}$$ より $$\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\delta }{2}}={\displaystyle \frac{12}{13}}$$ を得る。よって $$\cos (\alpha -\delta )=2{\left({\displaystyle \frac{12}{13}}\right)}^2-1={\displaystyle \frac{119}{169}}$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin \alpha \sin \delta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\cos (\alpha -\delta )-\cos (\alpha +\delta )}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{119}{169}}-{\displaystyle \frac{7}{25}}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{896}{4225}}}\end{array}$$である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle AB\cdot DA}& {\displaystyle =(2R{)}^2\sin \alpha \sin \delta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{65}{4}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{896}{4225}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =56}\end{array}$$である。 $AB+DA=18$，$AB\cdot DA=56$ だから，$AB,DA$ は2次方程式 $t^2-18t+56=0$ の2解である。よって $(t-4)(t-14)=0$ となり，$AB,DA=4,14$ である。どちらが $AB$ でどちらが $DA$ であるかは，図の取り方を入れ替えると交換される。

弦の条件から和と積をそろえれば，最後は2次方程式に帰着する．

対角線$BD$を共通弦$BC=CD=13$から求める．三角形$ABD$において$AB+DA=18$を使い，余弦定理から積$AB\cdot DA$を直接決定する．

$BC=CD=13$に対応する中心角の半分を$\beta$とする．解法1と同様に，両辺は小弧に対応するので$\sin \beta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$，$\cos \beta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$である．

$BC=CD=13$ に対応する半角を $\beta$ とすると，対角線 $BD$ は中心角 $4\beta$ に対応する弦である。したがって $$BD=2R\sin 2\beta ={\displaystyle \frac{65}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}={\displaystyle \frac{78}{5}}$$ である。また，$\mathrm{\angle }BAD$ は弧 $BCD$ に対する円周角なので $$\mathrm{\angle }BAD=2\beta ,\cos \mathrm{\angle }BAD=\cos 2\beta =-{\displaystyle \frac{7}{25}}$$ である。$AB=s,DA=t$ とおくと $s+t=18$ であり，三角形 $ABD$ に余弦定理を用いて $${\left({\displaystyle \frac{78}{5}}\right)}^2=s^2+t^2-2st(-{\displaystyle \frac{7}{25}})$$ となる。$$s^2+t^2=(s+t{)}^2-2st=324-2st$$ を代入すると $${\displaystyle \frac{6084}{25}}=324-{\displaystyle \frac{36}{25}}st$$ であり，$st=56$ を得る。よって同じく $s,t=4,14$ である。