東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) 現在，箱 $L$ に入っているボールの個数を $x$ とする。

まず $0\leqq x\leqq 15$ の場合を考える。このとき $K(x)=x$ である。表が出ると，$R$ から $L$ に $x$ 個移すので，$L$ の個数は $x+x=2x$ になる。裏が出ると，$L$ から $R$ に $x$ 個移すので，$L$ の個数は $x-x=0$ になる。したがって $$P_m(x)=\frac{1}{2}{P}_{m-1}(2x)+\frac{1}{2}{P}_{m-1}(0)$$ である。$m\geqq 2$ のとき，0個から1回以上の操作で30個になることはないので $P_{m-1}(0)=0$ である。よって $$P_m(x)=\frac{1}{2}{P}_{m-1}(2x)(0\leqq x\leqq 15)$$ である。この場合は $y=2x$ と選べばよい。

次に $16\leqq x\leqq 30$ の場合を考える。このとき $K(x)=30-x$ である。表が出ると，$R$ から $L$ に $30-x$ 個移すので，$L$ の個数は $x+(30-x)=30$ になる。裏が出ると，$L$ から $R$ に $30-x$ 個移すので，$L$ の個数は $x-(30-x)=2x-30$ になる。30個になった後は，$K(30)=0$ なのでそのまま30個であり続ける。したがって $$P_m(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{P}_{m-1}(2x-30)(16\leqq x\leqq 30)$$ である。この場合は $y=2x-30$ と選べばよい。

(2) $A_n=P_{2n}(10)$ とおく。10から1回操作すると，表なら20，裏なら0になる。0に行くと以後30にはならない。20から1回操作すると，表なら30，裏なら10になる。したがって，10から2回操作した後には，確率 $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ で30に到達し，確率 $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ で10に戻る。残りの確率は0に吸収される場合である。

よって $n\geqq 2$ で $$A_n=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}{A}_{n-1}$$ が成り立つ。また，2回の操作で10から30に到達する確率は $A_1=P_2(10)=\frac{1}{4}$ である。

この漸化式の定数解は $A=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}A$ より $A=\frac{1}{3}$ である。したがって $$A_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}(A_{n-1}-\frac{1}{3})$$ となる。$A_1=1\mathrm{/}4$ より $A_1-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}$ なので$$A_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\mathrm{.}$$よって $$P_{2n}(10)=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})$$ である。

10からの2回遷移

2回ごとに「30へ到達」「10へ復帰」「0へ吸収」の3通りへ分かれる。

10から2回を1組として見る。各組の開始時に10個なら、確率1/4で30個に到達し、確率1/4で10個へ戻り、残りは0個へ吸収される。第何組で初めて30個へ到達するかを直接足し上げる。

(1) 1回後の状態を直接条件づけると$$P_m(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_{m-1}(2x)& (0\leqq x\leqq 15),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_{m-1}(2x-30)& (16\leqq x\leqq 30)\end{array}$$である。前者では $y=2x$、後者では $y=2x-30$ と選べばよい。

(2) 10個から始めた2回の操作を1組とする。1組の間に$$\mathrm{Pr}(10\to 20\to 30)=\frac{1}{4},\mathrm{Pr}(10\to 20\to 10)=\frac{1}{4}$$であり、それ以外は0個へ吸収される。

第 $j$ 組で初めて30個へ到達するには、それ以前の $j-1$ 組で毎回10個へ戻り、第 $j$ 組で30個へ進めばよい。その確率は$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{j-1}\frac{1}{4}$$である。したがって、$n$ 組以内に到達する確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{2n}(10)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{\left(\frac{1}{4}\right)}^{j-1}\frac{1}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}\frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1-\frac{1}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})\mathrm{.}}\end{array}$$これは30個へ到達した後が吸収状態であることも含めて数えている。