東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$f(x)=x^2+ax+b$ であるから$$f(x+1)=x^2+(a+2)x+(a+b+1)$$である。

一方、$f^{\mathrm{\prime }}(t)=2t+a$ なので、右辺の積分では $x$ を定数として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1(3x^2+4xt)f^{\mathrm{\prime }}(t)dt}& {\displaystyle =3x^2{\int }_0^1(2t+a)dt+4x{\int }_0^{1}t(2t+a)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(a+1)x^2+4x(\frac{2}{3}+\frac{a}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(a+1)x^2+(\frac{8}{3}+2a)x}\end{array}$$となる。したがって、与えられた等式が $x$ についての恒等式であるための必要十分条件は$$\{\begin{array}{l}1=3c(a+1),\\ a+2=c({\displaystyle \frac{8}{3}}+2a),\\ a+b+1=0\end{array}$$である。

第1式から $a\text{neqq}-1$ かつ$$c=\frac{1}{3(a+1)}$$である。これを第2式へ代入すると$$a+2=\frac{{\displaystyle \frac{8}{3}}+2a}{3(a+1)}\mathrm{.}$$分母を払って整理すれば$$9a^2+21a+10=0,(3a+2)(3a+5)=0$$を得る。よって$$a=-\frac{2}{3}\text{または}a=-\frac{5}{3}\mathrm{.}$$最後に $b=-a-1$ と $c=1\mathrm{/}\{3(a+1)\}$ へ戻すと$$\begin{array}{ccc}a& b& c\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 1\\ -{\displaystyle \frac{5}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$となる。実際、この2組を代入すれば3本の係数条件をすべて満たす。したがって求める組は$$(a,b,c)=(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1),(-\frac{5}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{2})$$である。