東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

途中で4枚とも同じ色になったものは，その後の状態を数えないことにする。未終了のまま操作を $n$ 回終えた時点で，白黒が $2$ 枚ずつである確率を $q_n$，白黒が $1$ 枚と $3$ 枚に分かれている確率を $r_n$ とする。初期状態は白黒2枚ずつなので，$q_0=1,r_0=0$ である。

白黒2枚ずつの状態では，どのカードを選んでも白黒 $1$ 枚対 $3$ 枚になる。したがって，この状態から次に未終了で残る場合は必ず $r$ 型である。一方，白黒 $1$ 枚対 $3$ 枚の状態では，少数色の1枚を選ぶ確率が $1\mathrm{/}4$ で，このとき初めて4枚とも同じ色になる。多数色の3枚のどれかを選ぶ確率が $3\mathrm{/}4$ で，このとき白黒2枚ずつに戻る。

よって未終了確率について $$q_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}{r}_n,r_{n+1}=q_n$$ が成り立ち，$n+1$ 回目に初めて4枚とも同じ色になる確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_n$ である。

4回後に初めて終了する確率を求めるには $r_3$ が必要である。順に$$r_1=q_0=1,q_2={\displaystyle \frac{3}{4}}{r}_1={\displaystyle \frac{3}{4}},r_3=q_2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$だから，求める確率は $${\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_3={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$$ である。

(2)

上の漸化式を2回分まとめると $$q_{n+2}={\displaystyle \frac{3}{4}}{q}_n,r_{n+2}={\displaystyle \frac{3}{4}}{r}_n$$ である。初期条件から，未終了で $q$ 型になるのは偶数回後，$r$ 型になるのは奇数回後だけで，$$q_{2j}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^j,r_{2j+1}={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^j(j=0,1,2,\dots )$$となる。 $n$ 回後に初めて終了するには，$n-1$ 回後に未終了の $r$ 型であり，最後に少数色を選ぶ必要がある。したがって $n$ が偶数で $n=2j$ のとき，$${\displaystyle \frac{1}{4}}{r}_{2j-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{j-1}$$ である。$n$ が奇数のときは，$n-1$ 回後が偶数回後なので $r$ 型にならず，終了できない。

よって求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}}& (n\text{ が偶数},n\geqq 2),\\ 0& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。

色を区別せず、少数色と多数色の枚数だけで表した状態遷移。

2回の操作を1組と見る。白黒 $2:2$ からは、1回目で必ず $1:3$ へ移る。2回目には確率 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ で初めて終了し、確率 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ で $2:2$ に戻る。この独立な「戻る組」を何回通過したかだけを数える。

(1)
2回を1組として見る。白黒 $2:2$ から1回操作すると必ず $1:3$ になる。次の操作で少数色の1枚を選べば、確率 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ で初めて4枚が同色になる。一方、多数色の3枚のいずれかを選べば、確率 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ で $2:2$ に戻る。

4回目に初めて終了するには、最初の2回組では $2:2$ に戻り、次の2回組で終了すればよい。よって確率は$${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$$である。

(2)
$n$ が奇数なら、$2:2$ から奇数回の操作で終了状態へ到達することはできないので、求める確率は $0$ である。

$n=2j$ とする。$2j$ 回目に初めて終了するには、最初の $j-1$ 組では毎回 $2:2$ に戻り、最後の組で終了すればよい。したがって$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}$$となる。以上より$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}-1}& (n\text{ が偶数},n\geqq 2),\\ 0& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。