東大 2011年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

小数部分の定義から、 $⟨ x ⟩$ は常に $[0, 1)$ に入る。(1) は $a_{1} = \sqrt{2} - 1$ を出し、 $1 / (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1$ の小数部分が再び $\sqrt{2} - 1$ であることを確認する。(2) は全項が同じ $a$ になる固定点条件であり、まず $a_{1} = ⟨ a ⟩ = a$ から $1 / 3 ≦ a < 1$ を得る。次に $⟨ 1 / a ⟩ = a$ を、 $1 / a - a$ が整数である条件に直し、 $a$ の範囲から整数値を $1, 2$ に絞る。

解答

(1) $1 < \sqrt{2} < 2$ であるから $a_{1} = ⟨ \sqrt{2} ⟩ = \sqrt{2} - 1$ である。この値は0でないので、次の項は $a_{2} = ⟨ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} ⟩$ である。ここで $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ であり、 $2 < \sqrt{2} + 1 < 3$ だから $⟨ \sqrt{2} + 1 ⟩ = \sqrt{2} - 1$ となる。よって $a_{2} = a_{1}$ である。

同じ計算が以後も繰り返されるので、すべての自然数 $n$ について $a_{n} = \sqrt{2} - 1$ である。

(2)
任意の自然数 $n$ に対して $a_{n} = a$ であるとする。特に $n = 1$ で $a_{1} = ⟨ a ⟩ = a$ であるから、 $a$ は自分自身が小数部分であり、 $0 ≦ a < 1$ を満たす。問題では $a ≧ 1 / 3$ も仮定されているので $\frac{1}{3} ≦ a < 1$ である。したがって $a \neq 0$ である。

次に $a_{2} = a$ であるためには $⟨ \frac{1}{a} ⟩ = a$ でなければならない。小数部分の定義より、ある整数 $m$ が存在して $\frac{1}{a} = m + a$ と書ける。すなわち $\frac{1}{a} - a = m$ が整数である。 $1 / 3 ≦ a < 1$ より $1 < \frac{1}{a} ≦ 3$ であり、また $0 < a < 1$ だから $0 < \frac{1}{a} - a < 3$ である。したがって整数 $m$ は $m = 1 または m = 2$ に限られる。 $m = 1$ のとき $\frac{1}{a} = a + 1$ より $a^{2} + a - 1 = 0$ である。 $a > 0$ なので $a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ を得る。 $m = 2$ のとき $\frac{1}{a} = a + 2$ より $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ である。 $a > 0$ なので $a = - 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$ を得る。

これらはいずれも $1 / 3 ≦ a < 1$ を満たし、 $⟨ 1 / a ⟩ = a$ を満たすので、以後も同じ値が続く。したがって求める値は $\sqrt{2} - 1, \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ である。

総評

小数部分の定義を固定点条件として使う問題である。目安時間は15分。 $a = ⟨ a ⟩$ から $a < 1$ が出ること、 $⟨ 1 / a ⟩ = a$ を $1 / a - a \in Z$ と読めることが採点点になる。 $a = 1 / 3$ は範囲の端点だが、 $⟨ 3 ⟩ = 0$ となり条件を満たさない。整数 $m$ を絞るときは、 $1 / a$ の範囲だけでなく $a$ を引いた後の範囲を見ると、 $m = 3$ が入らないことを明確に説明できる。

出典: 東京大学 2011年度第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

総評

東京大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問