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東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

p，qを2つの正の整数とする。
整数a，b，cで条件−q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たすものを考え，
このようなa，b，cを[a, b ; c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ。
各(p,q)パターン[a, b ; c]に対してw([a, b ; c])=p−q−(a+b)とおく。

(1) (p,q)パターンのうち，w([a, b ; c])=−qとなるものの個数を求めよ。
また，w([a, b ; c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ。

以下p=qの場合を考える。

(2) sをp以下の整数とする。
(p,p)パターンでw([a, b ; c])=−p+sとなるものの個数を求めよ。

難易度5/ 10計算量4/ 10目安18分

場合の数、整数　数え上げ、場合分け、和の計算

方針

重み w([a,b;c])=p−q−(a+b) は c に依存せず、a+b だけで決まる。したがって、まず求める w の値を a+b の条件に直す。(1) は a+b=p または a+b=−q という端の条件なので、a,b はそれぞれ1通りに決まる。残りは c の取り方を数える。(2) では p=q として a+b=p−s を固定し、b=p−s−a とおく。a,b の範囲から a の範囲を決め、各 a に対して c は a−b+1 通りであることを足し上げる。s<0 では a+b≦p を超えるので該当しない。

解答

(1)
まず w([a,b;c])=p−q−(a+b) であり、w は c によらない。 w([a,b;c])=−q となる条件は p−q−(a+b)=−q すなわち a+b=p である。ところが条件より a≦p、b≦0 だから、a+b=p となるには a=p,b=0 でなければならない。このとき c は 0=b≦c≦a=p を満たす整数であり、c=0,1,2,…,p の p+1 通りである。したがって個数は p+1 である。

次に w([a,b;c])=p となる条件は p−q−(a+b)=p すなわち a+b=−q である。条件より a≧0、b≧−q だから、a+b=−q となるには a=0,b=−q でなければならない。このとき c は −q=b≦c≦a=0 を満たす整数であり、c=−q,−q+1,…,0 の q+1 通りである。したがって個数は q+1 である。

(2)
以下 p=q とする。このとき w([a,b;c])=p−p−(a+b)=−(a+b) である。したがって w([a,b;c])=−p+s は −(a+b)=−p+s すなわち a+b=p−s と同値である。

条件より 0≦a≦p、−p≦b≦0 であるから、a+b≦p である。したがって s<0 のときは p−s>p となり、該当するパターンは存在しない。

次に 0≦s≦p とする。a+b=p−s より b=p−s−a である。b≦0 から a≧p−s、また a≦p であるから、a の範囲は p−s≦a≦p である。この範囲の整数 a は s+1 個ある。

各 a に対して、c は b≦c≦a を満たす整数であるから、その個数は a−b+1=a−(p−s−a)+1=2a−p+s+1 である。よって求める個数は ∑a=p−sp(2a−p+s+1) である。ここで a=p−s+j (j=0,1,…,s) とおくと、各項は 2(p−s+j)−p+s+1=p−s+1+2j なので、和は∑j=0s(p−s+1+2j)=(s+1)(p−s+1)+2⋅s(s+1)2=(s+1)(p+1)である。

以上より、s≦p の整数 s に対する答えは{0(s<0),(s+1)(p+1)(0≦s≦p)である。

総評

条件が多く見えるが、w が a+b だけで決まることを見抜くと整理しやすい。目安時間は18分。(1) は端の和 a+b=p,−q なので a,b が一意に決まり、残る c の範囲だけを数える。(2) では s<0 の場合を落とさないこと、c の個数が a−b+1 であること、和の始点が a=p−s であることが採点点である。端点 s=0 では (p+1) 通り、s=p では (p+1)2 通りとなり、式の確認にも使える。

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出典: 東京大学 2011年度 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。