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東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが，3つの条件f(1)=1,f(−1)=−1,∫−11(bx2+cx+d) dx=1をすべて満たしているとする。このようなf(x)の中で定積分I=∫−11/2{f′′(x)}2 dxを最小にするものを求め，そのときのIの値を求めよ。
ただし，f′′(x)はf′(x)の導関数を表す。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安18分

関数、微分、積分　文字消去、微分による最大最小、定積分評価、計算整理

方針

3条件をまず係数条件に直す。f(1)=1 と f(−1)=−1 は、偶数次部分 b+d と奇数次部分 a+c を分離してくれる。さらに積分条件では奇関数部分 cx が消えるので、b,d が決まり、残る自由度は a だけになる。あとは f′′(x)=6ax+2b を用いて I を a の2次式として正確に展開し、平方完成で最小値とそのときの f(x) を求める。

解答

条件を係数で書く。まず f(1)=a+b+c+d=1,f(−1)=−a+b−c+d=−1 である。これらを加えると 2b+2d=0 だから b+d=0 であり、引くと 2a+2c=2 だから a+c=1 である。したがって d=−b,c=1−a である。

次に積分条件を用いる。奇関数 cx の [−1,1] における積分は0なので、∫−11(bx2+cx+d) dx=b∫−11x2 dx+d∫−111 dx=23b+2dである。これが1に等しく、また d=−b であるから 23b−2b=1 すなわち −43b=1 である。よって b=−34,d=34 となる。

したがって条件を満たす3次関数は f(x)=ax3−34x2+(1−a)x+34 と表される。ここで f′′(x)=6ax+2b=6ax−32 であるからI=∫−11/2(6ax−32)2 dxである。展開して (6ax−32)2=36a2x2−18ax+94 であり、∫−11/2x2 dx=[x33]−11/2=38,∫−11/2x dx=[x22]−11/2=−38,∫−11/21 dx=32である。よってI=36a2⋅38−18a(−38)+94⋅32=272a2+274a+278となる。

平方完成すると I=272(a+14)2+8132 である。したがって I が最小となるのは a=−14 のときであり、その最小値は 8132 である。このとき c=1−a=54 だから、求める関数は f(x)=−14x3−34x2+54x+34 であり、最小値は I=8132 である。

別解

解法2（積分の内側で平方完成する）

方針

3条件から b=−3/4、d=3/4、c=1−a までを先に決める。その後 a=−1/4+h とおくと、積分内の交差項の積分値が0になる。この直交性を使えば、展開した2次式をあとから平方完成せずに最小点と最小値を同時に得られる。

解答

f(1)=1、f(−1)=−1 の和と差からb+d=0,a+c=1を得る。また∫−11(bx2+cx+d) dx=23b+2d=1であり、d=−b だからb=−34,d=34,c=1−aとなる。したがってf(x)=ax3−34x2+(1−a)x+34,f′′(x)=6ax−32である。

ここでa=−14+hとおく。するとax−14=hx−x+14であり、I=36∫−11/2{hx−x+14}2 dxとなる。交差項に現れる積分は∫−11/2x(x+1) dx=[x33+x22]−11/2=0である。また∫−11/2x2 dx=38,∫−11/2(x+1)2 dx=98だからI=36(38h2+116⋅98)=272h2+8132.よって最小となるのは h=0、すなわち a=−1/4 のときである。このときf(x)=−14x3−34x2+54x+34,Imin⁡=8132である。

総評

係数条件を整理して1変数の2次式最小化へ落とす問題である。目安時間は18分。f(1),f(−1) の和と差を使って偶数次部分と奇数次部分を分けること、積分条件で cx の積分が消えること、f′′ には c,d が出てこないことが主要な観察である。計算量は重くないが、一次項の積分値 −3/8 の符号を誤ると最小点がずれる。答案では、自由度が a だけ残ることを明示してから平方完成まで書くと、条件をすべて使ったことが読み手に伝わる。

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出典: 東京大学 2011年度 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。