東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

放物線上の点 $(t,t^2)$ と $P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ との距離の2乗を $$F(t)={(t-\frac{1}{2})}^2+{(t^2-\frac{1}{4})}^2$$ とおく。$\mathrm{△}PQR$ が $QR$ を底辺とする二等辺三角形であることは $PQ=PR$ すなわち $F(\alpha )=F(\beta )$ を意味する。また三角形をなすので $Q\mathrm{\ne }R$、すなわち $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ である。

まず $F(t)$ を整理すると $$F(t)=t^4+\frac{1}{2}{t}^2-t+\frac{5}{16}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(\alpha )-F(\beta )}& {\displaystyle =({\alpha }^4-{\beta }^4)+\frac{1}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2)-(\alpha -\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha -\beta )\{(\alpha +\beta )({\alpha }^2+{\beta }^2)+\frac{1}{2}(\alpha +\beta )-1\}}\end{array}$$である。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ だから $$(\alpha +\beta )({\alpha }^2+{\beta }^2)+\frac{1}{2}(\alpha +\beta )-1=0$$ である。

ここで $$s=\alpha +\beta ,r=\alpha \beta$$ とおく。すると ${\alpha }^2+{\beta }^2=s^2-2r$ であるから、上の条件は $$s(s^2-2r)+\frac{s}{2}-1=0$$ となる。もし $s=0$ なら左辺は $-1$ となり不可能である。よって $s\mathrm{\ne }0$ であり、$s^2-2r=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ を得る。すなわち $${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$$ である。

重心 $G(X,Y)$ について $$X=\frac{1\mathrm{/}2+\alpha +\beta }{3}=\frac{s+1\mathrm{/}2}{3}$$ であり、$$Y=\frac{1\mathrm{/}4+{\alpha }^2+{\beta }^2}{3}=\frac{1\mathrm{/}4+1\mathrm{/}s-1\mathrm{/}2}{3}=\frac{1}{3s}-\frac{1}{12}$$である。$X=(s+1\mathrm{/}2)\mathrm{/}3$ より $$s=3X-\frac{1}{2}=\frac{6X-1}{2}$$ であるから、これを $Y$ に代入すると $$Y=\frac{1}{3(3X-1\mathrm{/}2)}-\frac{1}{12}=\frac{3-2X}{4(6X-1)}$$ である。

次に範囲を決める。$\alpha ,\beta$ が相異なる実数として存在するためには、2次方程式 $T^2-sT+r=0$ が相異なる実数解をもてばよい。すなわち $s^2-4r>0$ が必要十分である。上で得た $s^2-2r=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$ から $2r=s^2-\frac{1}{s}+\frac{1}{2}$ である。したがって $$s^2-4r=s^2-2(s^2-\frac{1}{s}+\frac{1}{2})=-s^2-1+\frac{2}{s}$$ である。

また $${\alpha }^2+{\beta }^2=1\mathrm{/}s-1\mathrm{/}2\geqq 0$$ であるから、特に $s>0$ でなければならない。$s>0$ のもとで $-s^2-1+\frac{2}{s}>0$ は、両辺に正の $s$ をかけて $s^3+s<2$ と同値である。関数 $s^3+s$ は $s>0$ で単調増加し、$s=1$ で $2$ となるので、$0<s<1$ である。 $s=3X-1\mathrm{/}2$ だから、これは $0<3X-\frac{1}{2}<1$ すなわち $\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}$ である。逆に、この範囲の $X$ に対しては $0<s<1$ となり、判別式が正なので相異なる実数 $\alpha ,\beta$ が存在する。

したがって求める軌跡は $$Y=\frac{3-2X}{4(6X-1)},\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}$$ である。

放物線上の2点 $Q,R$、頂点 $P$、重心 $G$ と、重心の軌跡の関係は次図のようになる。

弦 $QR$ の中点を $M$ とする。二等辺条件 $PQ=PR$ を $PM\perp QR$ と読み替えると、弦の傾き $\alpha +\beta$ と中点座標だけで条件を書ける。対称式から重心を出し、最後に $\alpha ,\beta$ が相異なる実数となる範囲を判別式で決める。

弦 $QR$ の中点を $M$ とする。また$$s=\alpha +\beta ,r=\alpha \beta$$とおく。$Q\mathrm{\ne }R$ であり、弦 $QR$ の傾きは$$\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{\alpha -\beta }=\alpha +\beta =s$$である。一方、$$M(\frac{s}{2},\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2})$$である。

$PQ=PR$ は、点 $P$ が弦 $QR$ の垂直二等分線上にあることと同値である。したがって $PM\perp QR$ であり、$$(\frac{1}{2}-\frac{s}{2})+s(\frac{1}{4}-\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2})=0$$となる。$s=0$ なら左辺は $1\mathrm{/}2$ となるので $s\mathrm{\ne }0$ である。整理すると$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}$$を得る。

重心 $G(X,Y)$ について$$X=\frac{1\mathrm{/}2+s}{3},Y=\frac{1\mathrm{/}4+{\alpha }^2+{\beta }^2}{3}=\frac{1}{3s}-\frac{1}{12}$$である。したがって $s=3X-1\mathrm{/}2$ を消去すると$$(X-\frac{1}{6})(Y+\frac{1}{12})=\frac{1}{9}$$となる。

残るのは $s$ の範囲である。$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\geqq 0$$かつ $s\mathrm{\ne }0$ なので $s>0$ である。また$$2r=s^2-\frac{1}{s}+\frac{1}{2}$$だから、$\alpha ,\beta$ が相異なる実数である条件は$$s^2-4r=-s^2-1+\frac{2}{s}>0.$$$s>0$ より、これは$$s^3+s<2$$と同値である。左辺は $s>0$ で単調増加し、$s=1$ で2となるので$$0<s<1$$である。よって$$\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}$$となる。

したがって求める軌跡は$$(X-\frac{1}{6})(Y+\frac{1}{12})=\frac{1}{9},\frac{1}{6}<X<\frac{1}{2}$$である。