東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

直線 $l$ は原点を通り、領域 $D$ との共通部分が第1象限側の線分になる。$l$ と $x$ 軸のなす角を $\theta$ とし、直線上の点を原点からの距離 $r$ を用いて $$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )(r\geqq 0,0<\theta <\pi \mathrm{/}2)$$ と表す。

まず円 $x^2+(y-1{)}^2=1$ に代入すると $$r^2{\cos }^2\theta +(r\sin \theta -1{)}^2=1$$ である。展開すると $r^2-2r\sin \theta =0$ すなわち $r(r-2\sin \theta )=0$ となる。したがって円の内部にある直線上の部分は $$0\leqq r\leqq 2\sin \theta$$ である。

次に半平面条件 $x\geqq \sqrt{2}\mathrm{/}3$ は $$r\cos \theta \geqq \frac{\sqrt{2}}{3}$$ であり、$\cos \theta >0$ だから $$r\geqq \frac{\sqrt{2}}{3\cos \theta }$$ となる。よって共通部分が線分として存在するとき、その長さは $$L(\theta )=2\sin \theta -\frac{\sqrt{2}}{3\cos \theta }$$ である。

円板を直線 $x=\sqrt{2}\mathrm{/}3$ で切った青色部分が $D$ であり、橙色の線分が最大時の共通部分である。
存在条件の境界では右辺が0になり、最大は内部で起こる。

微分すると $$L^{\mathrm{\prime }}(\theta )=2\cos \theta -\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$$ である。内部の最大点では $L^{\mathrm{\prime }}(\theta )=0$ なので $$2{\cos }^3\theta =\frac{\sqrt{2}}{3}\sin \theta$$ である。両辺は正であるから、平方してよい。$u={\cos }^2\theta$ とおくと $0<u<1$、${\sin }^2\theta =1-u$ であり、$$4u^3=\frac{2}{9}(1-u)$$ すなわち $18u^3+u-1=0$ を得る。左辺は $$18u^3+u-1=(3u-1)(6u^2+2u+1)$$ と因数分解でき、$6u^2+2u+1>0$ であるから $u=\frac{1}{3}$ である。したがって ${\cos }^2\theta =\frac{1}{3}$ であり、$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。

このとき $$\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ であるから$$L_{\max }=2\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$である。

直線を $y=kx(k>0)$ と置く。円との第1象限側の交点と$x=\sqrt{2}\mathrm{/}3$ との交点を $x$ 座標で求め、2点間距離を $k$ の関数にする。

直線 $l$ を$$y=kx(k>0)$$と置く。円との交点は$$x^2+(kx-1{)}^2=1$$を満たすから$$x\{(1+k^2)x-2k\}=0.$$第1象限側の交点の $x$ 座標は$$X=\frac{2k}{1+k^2}$$である。一方、直線 $x=\sqrt{2}\mathrm{/}3$ との交点の $x$ 座標は $\sqrt{2}\mathrm{/}3$ である。直線上では $x$ 座標の差を $\sqrt{1+k^2}$ 倍したものが距離なので、$$L(k)=\sqrt{1+k^2}(\frac{2k}{1+k^2}-\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{2k}{\sqrt{1+k^2}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{1+k^2}\mathrm{.}$$微分すると$$L^{\mathrm{\prime }}(k)=\frac{2}{(1+k^2{)}^{3\mathrm{/}2}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}\mathrm{.}$$したがって $L^{\mathrm{\prime }}(k)=0$ は$$k(1+k^2)=3\sqrt{2}$$と同値である。左辺は $k>0$ で単調増加し、$k=\sqrt{2}$ がこの方程式を満たすので、ここで唯一の最大値をとる。よって$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$であり、$$L_{\max }=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$である。