東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
放物線 $C:y=x^2+1$ の $x=u$ における接線を求める。接点は $(u,u^2+1)$、接線の傾きは $2u$ であるから、接線の方程式は $y-(u^2+1)=2u(x-u)$ すなわち $y=2ux-u^2+1$ である。

この接線が点 $(s,t)$ を通る条件は $t=2us-u^2+1$ であり、これを $u$ について整理すると $u^2-2su+t-1=0$ である。判別式は $4s^2-4(t-1)=4(s^2-t+1)$ である。ここで $$\alpha =\sqrt{s^2-t+1}$$ とおく。$t<0$ より $s^2-t+1>0$ なので $\alpha >0$ であり、2つの接点の $x$ 座標は $$u=s-\alpha ,v=s+\alpha$$ である。

したがって2本の接線は、順序を除いて $$y=2(s-\alpha )x-(s-\alpha {)}^2+1$$ と $$y=2(s+\alpha )x-(s+\alpha {)}^2+1$$ である。ただし $$\alpha =\sqrt{s^2-t+1}$$ である。

(2)
(1)の2つの接点の $x$ 座標を $$u=s-\alpha ,v=s+\alpha$$ とする。放物線と $x=u$ における接線との差は $$x^2+1-(2ux-u^2+1)=(x-u{)}^2$$ である。同様に、$x=v$ における接線との差は $(x-v{)}^2$ である。

接点が $s-\alpha ,s+\alpha$ にあり、2接線が $x=s$ で交わる配置を図示すると次のようになる。

また2本の接線の交点を求めると、$2ux-u^2+1=2vx-v^2+1$ より $2(u-v)x=(u-v)(u+v)$ である。$u\mathrm{\ne }v$ だから $$x=\frac{u+v}{2}=s$$ である。

区間 $[u,s]$ では $x=u$ の接線が上側の接線であり、区間 $[s,v]$ では $x=v$ の接線が上側の接線である。よって囲まれる領域の面積 $S$ は$$S={\int }_u^s(x-u{)}^{2}dx+{\int }_s^v(x-v{)}^{2}dx$$である。ここで $u=s-\alpha$、$v=s+\alpha$ だから$$S={\int }_{s-\alpha }^s(x-s+\alpha {)}^{2}dx+{\int }_s^{s+\alpha }(x-s-\alpha {)}^{2}dx$$であり、どちらの積分も ${\alpha }^3\mathrm{/}3$ に等しい。したがって $$S=\frac{2}{3}{\alpha }^3$$ である。

この面積が $a$ に等しいので $\frac{2}{3}{\alpha }^3=a$ であり、$\alpha >0$ より $$\alpha ={\left(\frac{3a}{2}\right)}^{1\mathrm{/}3}$$ である。一方、${\alpha }^2=s^2-t+1$ だから $t=s^2+1-{\alpha }^2$ である。条件 $t<0$ は $s^2<{\alpha }^2-1$ と同値である。

したがって、解が存在するには ${\alpha }^2-1>0$ すなわち $\alpha >1$ が必要十分である。これは $${\left(\frac{3a}{2}\right)}^{1\mathrm{/}3}>1$$ つまり $a>\frac{2}{3}$ と同値である。

よって $0<a\leqq 2\mathrm{/}3$ のとき、条件を満たす $(s,t)$ は存在しない。$a>2\mathrm{/}3$ のとき、すべての解は$$-\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}-1}<s<\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}-1},t=s^2+1-{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}$$である。

(1) は接点の $x$ 座標を2次方程式の根として求める。(2)では接点を$p<q$ と一般に置き、放物線と2接線で囲まれる面積が接点間隔だけで$(q-p{)}^3\mathrm{/}12$ と表せることを先に証明する。

(1)
放物線 $C$ の $x=u$ における接線は$$y=2ux-u^2+1$$である。これが $(s,t)$ を通る条件は$$u^2-2su+t-1=0.$$$$\alpha =\sqrt{s^2-t+1}$$ とおけば、$t<0$ より $\alpha >0$ であり、2根は $s-\alpha ,s+\alpha$ である。したがって2本の接線は$$y=2(s-\alpha )x-(s-\alpha {)}^2+1,y=2(s+\alpha )x-(s+\alpha {)}^2+1$$である。

(2)
一般に、放物線 $y=x^2+1$ の $x=p,q(p<q)$ における接線を考える。2接線の交点の $x$ 座標は $(p+q)\mathrm{/}2$ であり、放物線と $x=p$ における接線との差は $(x-p{)}^2$、$x=q$ における接線との差は $(x-q{)}^2$ である。よって囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_p^{(p+q)\mathrm{/}2}(x-p{)}^{2}dx+{\int }_{(p+q)\mathrm{/}2}^q(x-q{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(q-p{)}^3}{24}+\frac{(q-p{)}^3}{24}=\frac{(q-p{)}^3}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$本問では $p=s-\alpha ,q=s+\alpha$ だから$$S=\frac{(2\alpha {)}^3}{12}=\frac{2}{3}{\alpha }^3\mathrm{.}$$$S=a$ より$$\alpha ={\left(\frac{3a}{2}\right)}^{1\mathrm{/}3},t=s^2+1-{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$さらに $t<0$ は$$s^2<{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}-1$$と同値である。したがって $0<a\leqq 2\mathrm{/}3$ では解は存在しない。$a>2\mathrm{/}3$ では$$-\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}-1}<s<\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}-1},t=s^2+1-{\left(\frac{3a}{2}\right)}^{2\mathrm{/}3}$$がすべての解である。