東京大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $1<\sqrt{2}<2$ であるから $$a_1=⟨\sqrt{2}⟩=\sqrt{2}-1$$ である。また $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$$ であり、$2<\sqrt{2}+1<3$ なので$$⟨\frac{1}{\sqrt{2}-1}⟩=⟨\sqrt{2}+1⟩=\sqrt{2}-1$$である。よって $a_2=a_1$ であり、同じことが繰り返される。したがって $$a_n=\sqrt{2}-1(n=1,2,3,\dots )$$ である。

(2)
任意の自然数 $n$ について $a_n=a$ であるとする。特に $a_1=⟨a⟩=a$ だから、$a$ は小数部分として現れる値であり $0\leqq a<1$ である。問題の条件 $a\geqq 1\mathrm{/}3$ と合わせて $\frac{1}{3}\leqq a<1$ を得る。したがって $a\mathrm{\ne }0$ である。

さらに $a_2=a$ であるから $$⟨\frac{1}{a}⟩=a$$ である。小数部分の定義より、ある整数 $m$ が存在して $\frac{1}{a}=m+a$ と表せる。つまり $\frac{1}{a}-a=m$ である。$1\mathrm{/}3\leqq a<1$ より $0<\frac{1}{a}-a<3$ なので、整数 $m$ は $m=1,2$ のいずれかである。 $m=1$ のとき $a^2+a-1=0$ より、正の解として $$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ を得る。$m=2$ のとき $a^2+2a-1=0$ より、正の解として $a=\sqrt{2}-1$ を得る。どちらも $1\mathrm{/}3\leqq a<1$ を満たし、$⟨1\mathrm{/}a⟩=a$ も満たす。

したがって求める値は $\sqrt{2}-1,\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。

(3) $a=p\mathrm{/}q$ と表されているとする。$a_1=⟨p\mathrm{/}q⟩$ は有理数であり、$a_1\mathrm{\ne }0$ のとき既約分数で表した分母は高々 $q$ である。もし $a_1=0$ なら、定義より以後もすべて0なので結論は明らかである。

以下、$a_n\mathrm{\ne }0$ とし、$a_n$ を既約分数で $$a_n=\frac{r}{s}(0<r<s)$$ と表す。ただし、$r$ と $s$ は互いに素とする。小数部分なので $0<a_n<1$ であり、したがって $0<r<s$ である。 $s$ を $r$ で割って $$s=kr+\rho ,0\leqq \rho <r$$ とおく。すると $$\frac{1}{a_n}=\frac{s}{r}=k+\frac{\rho }{r}$$ である。したがって $$a_{n+1}=⟨\frac{1}{a_n}⟩$$ は、$\rho =0$ のとき0であり、$\rho >0$ のときは $\rho \mathrm{/}r$ を約分した分数である。 $\rho >0$ の場合、$a_{n+1}$ の既約分母は $r$ 以下である。ところが $r<s$ なので、$a_{n+1}\mathrm{\ne }0$ なら既約分母は前の分母 $s$ より真に小さい。

よって、項が0でない間、既約分数で表した分母は正の整数として真に減少し続ける。初項 $a_1$ の既約分母は高々 $q$ であるから、$a_1,a_2,\dots ,a_q$ がすべて0でないことはありえない。したがって $a_q=0$ である。いったん0になれば、定義により次項以降も0である。ゆえに $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $a_n=0$ である。