東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $x$ について整理すると $$f(x)=-2x^2+(8t-12)x+t^3-17t^2+39t-18$$ である。$x^2$ の係数が負なので、この2次関数は上に凸であり、平方完成して頂点を読めば最大値が求まる。

実際、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =-2\{x^2-(4t-6)x\}+t^3-17t^2+39t-18}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\{x-(2t-3){\}}^2+2(2t-3{)}^2+t^3-17t^2+39t-18}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\{x-(2t-3){\}}^2+t^3-9t^2+15t}\end{array}$$である。したがって、$x=2t-3$ のとき最大となり、最大値は $t^3-9t^2+15t$ である。

(2)

(1) の最大値を $g(t)=t^3-9t^2+15t$ とおく。微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-18t+15=3(t-1)(t-5)$$ である。よって、$g(t)$ は $t<1,5<t$ で増加し、$1<t<5$ で減少する。

したがって、範囲 $t\geqq -1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で最小値の候補は左端 $t=-1\mathrm{/}\sqrt{2}$ と極小点 $t=5$ である。まず $g(5)=125-225+75=-25$ である。また、$t=-1\mathrm{/}\sqrt{2}$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(-\frac{1}{\sqrt{2}})}& {\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{9}{2}-\frac{15}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{9}{2}-\frac{31}{2\sqrt{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$これと $-25$ を比較すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(-\frac{1}{\sqrt{2}})-g(5)}& {\displaystyle =\frac{41}{2}-\frac{31}{2\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{41\sqrt{2}-31}{2\sqrt{2}}>0}\end{array}$$である。最後の不等式は $41\sqrt{2}>31$ から従う。

よって左端の値よりも $g(5)$ の方が小さい。求める最小値は $-25$ である。

(1) は平方完成で最大値を求める。(2) は微分で増減を追う代わりに、候補値 $-25$ との差 $g(t)+25$ を因数分解する。指定範囲では各因子の符号が直ちに決まり、等号条件も同時に得られる。

(1) $x$ について平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =-2\{x-(2t-3){\}}^2+t^3-9t^2+15t\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $x=2t-3$ のとき最大となり、その最大値は$$g(t)=t^3-9t^2+15t$$である。

(2) $-25$ との差をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(t)-(-25)}& {\displaystyle =t^3-9t^2+15t+25}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t-5{)}^2(t+1)\mathrm{.}}\end{array}$$いま$$t\geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}>-1$$であるから $t+1>0$ であり、$(t-5{)}^2\geqq 0$ である。よって$$g(t)+25\geqq 0,$$すなわち $g(t)\geqq -25$ である。等号は $t=5$ のときに成立する。したがって求める最小値はである。