東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

点 $A(-1,1)$，$B(1,-1)$ を通る直線は $y=-x$ である。点 $A,B$ を通る2次関数は、この直線に $x=-1,1$ で $0$ となる項を加えて $$y=-x+t(x^2-1)(t\mathrm{\ne }0)$$ と表される。実際，$x=-1$ のとき $y=1$，$x=1$ のとき $y=-1$ である。

$t\mathrm{\ne }0$ のとき、この2次関数は $y=t{x}^2-x-t$ であるから、頂点の $x$ 座標は $$-\frac{-1}{2t}=\frac{1}{2t}$$ である。条件(i)は頂点の $x$ 座標の絶対値が $1$ 以上であることなので $\mid \frac{1}{2t}\mid \geqq 1$ すなわち $0<\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq \frac{1}{2}$ である。

一方、条件(ii)は $A,P,B$ が同一直線上にあること、すなわち $y=-x$ であり、これは上の式で $t=0$ とした場合に対応する。したがって条件(i)または(ii)を満たす点 $P=(x,y)$ は、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1$ のもとで $$y=-x+t(x^2-1),\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq \frac{1}{2}$$ と表される点である。

ここで $-1\leqq x\leqq 1$ では $x^2-1\leqq 0$ であるから $y+x=t(x^2-1)$ が取り得る範囲は $$-\frac{1-x^2}{2}\leqq y+x\leqq \frac{1-x^2}{2}$$ である。よって図示すべき範囲は$$-1\leqq x\leqq 1,-x-\frac{1-x^2}{2}\leqq y\leqq -x+\frac{1-x^2}{2}$$である。境界は2本の放物線 $$y=-x\pm \frac{1-x^2}{2}$$ であり、両端 $x=\pm 1$ ではそれぞれ点 $A,B$ に縮む。

したがって面積は縦の長さを積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{(-x+\frac{1-x^2}{2})-(-x-\frac{1-x^2}{2})\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[x-\frac{x^3}{3}]}_{-1}^1=\frac{4}{3}}\end{array}$$である。よって求める面積は $\frac{4}{3}$ である。