東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

放物線の式を整理すると $$y=a{x}^2+\frac{1-4a^2}{4a}=a(x^2-1)+\frac{1}{4a}$$ である。ここで $x$ を固定し、$a>0$ を動かしたときの $y$ の値域を調べる。

(i) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ のとき

このとき $x^2-1<0$ である。$a\to +0$ とすると $\frac{1}{4a}\to +\mathrm{\infty }$ であるから $y\to +\mathrm{\infty }$ である。一方、$a\to \mathrm{\infty }$ とすると $a(x^2-1)\to -\mathrm{\infty }$ であるから $y\to -\mathrm{\infty }$ である。右辺は $a$ について連続なので、$y$ はすべての実数値を取る。

(ii) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1$ のとき

このとき $x^2-1=0$ であるから $y=\frac{1}{4a}$ である。$a>0$ より $y>0$ であり、逆に任意の $y>0$ に対して $a=1\mathrm{/}(4y)$ とすればその値を取る。

(iii) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ のとき

$c=x^2-1$ とおくと $c>0$ であり $y=ca+\frac{1}{4a}$ である。相加相乗平均より $$ca+\frac{1}{4a}\geqq 2\sqrt{ca\cdot \frac{1}{4a}}=\sqrt{c}=\sqrt{x^2-1}$$ である。等号は $ca=\frac{1}{4a}$ すなわち $$a=\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}$$ のときに成り立つ。よってこの場合の値域は $$y\geqq \sqrt{x^2-1}$$ である。

以上より、$C$ の通過する領域は$$\{\begin{array}{ll}\text{すべての実数 }y& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1),\\ y>0& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1),\\ y\geqq \sqrt{x^2-1}& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1)\end{array}$$である。図では、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ の縦帯はすべて塗り、境界線 $x=\pm 1$ 上では $y>0$ の部分だけを含める。$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では双曲線型の曲線 $$y=\sqrt{x^2-1}$$ およびその上側を含める。

点 $(x,y)$ を固定し、その点を通る放物線が存在する条件を $a$ の2次方程式の正の実数解条件へ直す。$x^2-1$ の符号で3場合に分け、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では判別式だけでなく根の和・積から正の根であることも確認する。最後に含む境界と含まない境界を図へ反映する。

点 $(x,y)$ を通る放物線が存在するための条件を調べる。与式は$$y=a(x^2-1)+\frac{1}{4a}$$だから、$a>0$ について$$\begin{array}{cccc}& 4(x^2-1)a^2-4ya+1=0& & \text{(1)}\end{array}$$となる。

(i) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ のとき

(1) の左辺を $G(a)$ とする。$G(0)=1>0$ であり、$a\to \mathrm{\infty }$ では $x^2-1<0$ より $G(a)\to -\mathrm{\infty }$ である。したがって任意の実数 $y$ に対して、中間値の定理により正の解 $a$ が存在する。

(ii) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1$ のとき

(1) は $-4ya+1=0$ となる。正の解をもつための必要十分条件は $y>0$ である。

(iii) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ のとき

(1) が実数解をもつ条件は、判別式から$$16\{y^2-(x^2-1)\}\geqq 0$$である。ただし $a>0$ が必要である。(1)の2根の積は正、根の和は$$\frac{y}{x^2-1}$$だから、実数解が存在するとき2根がともに正であるための条件は $y>0$ である。よって$$y\geqq \sqrt{x^2-1}$$が必要十分である。

以上より通過領域は$$\{\begin{array}{ll}y\text{ は任意}& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1),\\ y>0& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=1),\\ y\geqq \sqrt{x^2-1}& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1)\end{array}$$である。

双曲線の上側の枝は含まれる。点 $(\pm 1,0)$ と、そこから下へ延びる縦の境界は含まれないので、図では白丸と破線で表した。