東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線 $l$ は $y=tx$ である。曲線 $C$ との共有点の $x$ 座標は $x(x-1)(x-3)=tx$ を満たす。整理すると $x\{x^2-4x+3-t\}=0$ である。$x=0$ が原点 $O$ に対応する。原点以外の共有点の $x$ 座標は $x^2-4x+3-t=0$ の解である。この二次方程式が実数解をもつための条件は $16-4(3-t)=4(1+t)\geqq 0$ であるから $t\geqq -1$ である。

原点以外の2つの共有点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。接する場合や一方が原点と一致する場合も、重複を込めてこの2解で扱う。解と係数の関係より $\alpha \beta =3-t$ である。直線 $y=tx$ 上の点 $(x,tx)$ の原点からの距離は $$\sqrt{x^2+t^2{x}^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{1+t^2}$$ であるから、$$g(t)=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\sqrt{1+t^2}\cdot \mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }\sqrt{1+t^2}=\mathrm{\mid }3-t\mathrm{\mid }(1+t^2)$$ である。

したがって$$g(t)=\{\begin{array}{ll}(3-t)(1+t^2)& (-1\leqq t\leqq 3),\\ (t-3)(1+t^2)& (3\leqq t)\end{array}$$である。$-1\leqq t\leqq 3$ では $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=-(1+t^2)+2t(3-t)=-3t^2+6t-1$$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $$t=1\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$ である。ここで $$u=1-\frac{\sqrt{6}}{3},v=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$$ とおくと、$-1<u<v<3$ である。 $3\leqq t$ では $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=(1+t^2)+2t(t-3)=3t^2-6t+1$$ であり、$t\geqq 3$ では $3t^2-6t+1=3(t-1{)}^2-2>0$ である。

以上より、$g(t)$ は$$[-1,u]\text{で減少},[u,v]\text{で増加},[v,3]\text{で減少},[3,\mathrm{\infty })\text{で増加}$$である。したがって極小値は $t=u$ と $t=3$ でとり、$$g(u)=4-\frac{4\sqrt{6}}{9},g(3)=0$$ である。また極大値は $t=v$ でとり、$$g(v)=4+\frac{4\sqrt{6}}{9}$$ である。