東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
ちょうど5試合目で$A$が優勝するには，4試合目までには2連勝が起きず，5試合目で$A$が4試合目に続いて勝てばよい。

1試合目で$A$が勝つ場合を考えると，2試合目は$A$と$C$の対戦である。ここで$A$が勝つと2連勝で大会が終わるので，2試合目は$C$が勝つ必要がある。以後も4試合目まで優勝を出さないため，勝者は $A,C,B,A$ と決まる。5試合目で$A$が勝てば，$A$の2連勝である。したがって勝者列は $A,C,B,A,A$ に限られる。

各試合の勝敗は確率$1\mathrm{/}2$で決まるので，この確率は $${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$$ である。

(2)
優勝が決まる前は，連続する2試合の勝者が同じであってはならない。したがって，勝者は毎試合，直前の勝者とは異なるチームになる。大会方式より，その場合の勝者列は3チームの巡回に限られる。

1試合目で$A$が勝つと，優勝が決まるまでは $A,C,B,A,C,B,\dots$ と巡回する。よって$n$試合目で$A$が優勝するには，$(n-1)$試合目の勝者が$A$でなければならない。この巡回では$(n-1)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$，すなわち $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときに起こる。

一方，1試合目で$B$が勝つと，優勝が決まるまでは $B,C,A,B,C,A,\dots$ と巡回する。この場合，$(n-1)$試合目の勝者が$A$となるのは $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときである。

したがって，$A$がちょうど$n$試合目で優勝する確率は$$\{\begin{array}{ll}{2}^{-n}& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}$$である。確率が$2^{-n}$になるのは，該当する勝者列が1通りに決まり，その$n$試合すべての勝敗を指定するからである。

(3)
(2)より，$3m$試合以下で$A$が優勝する場合は $$n=3j+2(j=0,1,\dots ,m-1)$$ または $$n=3j+1(j=1,2,\dots ,m-1)$$ である。したがって求める確率は $$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+\sum _{j=1}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+1}}$$ である。第2和を$j=0$からの形に直すと $$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+\sum _{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}$$ である。

これを計算すると$$\frac{1}{4}\cdot \frac{1-8^{-m}}{1-\frac{1}{8}}+\frac{1}{16}\cdot \frac{1-8^{-(m-1)}}{1-\frac{1}{8}}$$であり，整理して $\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}$ となる。したがって求める確率は $\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}$ である。

ちょうど$n$試合目にAが優勝する確率を$p_n$とおく。大会が終わらない3試合分の勝敗は一意に決まるため，$p_{n+3}=p_n\mathrm{/}8$という漸化式を作る。初期値$p_2,p_3,p_4$から3つの剰余類を確定し，(3)ではその2本の等比数列を和にする。

ちょうど$n$試合目にAが優勝する確率を$p_n$とする。優勝が決まるまでは，同じチームが連勝しないよう次の勝者が一意に決まる。したがって，Aの優勝を3試合遅らせるには，その間の3試合の勝敗をすべて指定する必要があり，$$p_{n+3}=\frac{1}{8}{p}_n\mathrm{.}$$(1) 最初の3つの値を直接調べる。2試合目にAが優勝する列は$A,A$だけなので$p_2=1\mathrm{/}4$。3試合目の優勝は不可能なので$p_3=0$。4試合目では$B,C,A,A$だけだから$p_4=1\mathrm{/}16$である。よって$$p_5=\frac{1}{8}{p}_2=\frac{1}{32}\mathrm{.}$$(2) 漸化式と初期値から$$p_n=\{\begin{array}{ll}{2}^{-n}& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(3) $n\leqq 3m$にある非零項は$$n=3j+2(0\leqq j\leqq m-1)$$と$$n=3j+1(1\leqq j\leqq m-1)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=2}^{3m}{p}_n}& {\displaystyle =\frac{1}{4}\sum _{j=0}^{m-1}{8}^{-j}+\frac{1}{16}\sum _{j=0}^{m-2}{8}^{-j}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}\mathrm{.}}\end{array}$$$m=1$では第2和を空和0と解釈すれば，同じ式が成り立つ。