東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $u=y-x$ とおく。右または下へ動くと$u$は$-1$だけ変化し，上または左へ動くと$u$は$+1$だけ変化する。したがって1回ごとに，$u$は確率$1\mathrm{/}2$で$+1$，確率$1\mathrm{/}2$で$-1$だけ変化する。

最初は原点なので$u=0$である。6秒後に直線$y=x$上にあるためには，6回の変化の和が0であればよい。これは$+1$が3回，$-1$が3回起こることと同値である。よって求める確率は $$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$$ である。

(2)
6秒後に原点へ戻るためには，右へ動いた回数と左へ動いた回数が等しく，かつ上へ動いた回数と下へ動いた回数が等しくなければならない。右と左の回数をそれぞれ$i$回，上と下の回数をそれぞれ$j$回とすると $2i+2j=6$ より $i+j=3$ である。

したがって$i=0,1,2,3$について数える。各$i$に対し，$j=3-i$であり，操作列の数は $\frac{6!}{i!i!j!j!}$ である。よって原点に戻る操作列の総数は $$\sum _{i=0}^3\frac{6!}{i!i!(3-i)!(3-i)!}$$ である。各項は$$\frac{6!}{0!0!3!3!}=20,\frac{6!}{1!1!2!2!}=180,\frac{6!}{2!2!1!1!}=180,\frac{6!}{3!3!0!0!}=20$$なので，合計は $400$ 通りである。

全操作列は$4^6$通りであるから，求める確率は $$\frac{400}{4^6}=\frac{400}{4096}=\frac{25}{256}$$ である。

$U=x+y$，$V=y-x$と座標変換する。1歩ごとの$(\mathrm{\Delta }U,\mathrm{\Delta }V)$は4通りの符号の組を等確率でとるため，$U,V$は独立な1次元単純ランダムウォークになる。(1)は$V=0$，(2)は$U=V=0$として求める。

$U=x+y$，$V=y-x$とおく。右，上，左，下への1歩による$(\mathrm{\Delta }U,\mathrm{\Delta }V)$はそれぞれ$$(1,-1),(1,1),(-1,1),(-1,-1)$$である。したがって，各歩で$\mathrm{\Delta }U$と$\mathrm{\Delta }V$はそれぞれ独立に確率$1\mathrm{/}2$で$1,-1$をとる。

6歩後に，$U$または$V$が0となる確率を$r$とおく。$1$と$-1$が3回ずつ現れればよいから$$r=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{2^6}=\frac{5}{16}\mathrm{.}$$(1) 直線$y=x$は$V=0$で表される。よって求める確率は$$\frac{5}{16}\mathrm{.}$$(2) 原点にあることは$U=0$かつ$V=0$と同値である。両者は独立だから$$P=r^2={\left(\frac{5}{16}\right)}^2=\frac{25}{256}\mathrm{.}$$