東京大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則 $(a)$ ， $(b)$ に従って動く点 $P$ を考える。

(a) 最初に，点 $P$ は原点 $O$ にある。

(b) ある時刻で点 $P$ が格子点 $(m, n)$ にあるとき，その1秒後の点 $P$ の位置は，隣接する格子点

(m + 1, n), (m, n + 1), (m - 1, n), (m, n - 1)

のいずれかであり，これらの点に移動する確率はそれぞれ $\frac{1}{4}$ である。

(1) 最初から1秒後の点 $P$ の座標を $(s, t)$ とする。 $t - s = - 1$ となる確率を求めよ。

(2) 点 $P$ が，最初から6秒後に直線 $y = x$ 上にある確率を求めよ。

出典：東京大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

直線 $y = x$ 上にある条件を，差 $u = y - x$ が0である条件に置き換える。1回の移動で $u$ は，上または左なら $+ 1$ ，右または下なら $- 1$ だけ変化し，それぞれの確率は $1/2$ である。(1)は1秒後の4点を直接数え，(2)は6回の $+ 1$ と $- 1$ が同数になる場合を二項分布として数える。

解法2

(1)は4方向を直接確認する。(2)は6歩のうち「上または左」を選ぶ3箇所を決め，各箇所で具体的な方向を選ぶことで，条件を満たす経路数を直接数える。

解答

解法1

(1)

1秒後に点 $P$ が到達できる点は $(1, 0), (0, 1), (- 1, 0), (0, - 1)$ の4点であり，いずれも確率 $1/4$ である。このうち，座標を $(s, t)$ としたとき $t - s = - 1$ を満たすのは $(1, 0), (0, - 1)$ の2点である。したがって求める確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ である。

(2)

$u = y - x$ とおく。点が右へ動くと $x$ が1増えるので $u$ は $- 1$ だけ変化し，下へ動いても $y$ が1減るので $u$ は $- 1$ だけ変化する。一方，上または左へ動くと $u$ は $+ 1$ だけ変化する。

各回で $u$ が $+ 1$ だけ変化する確率は $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ であり， $- 1$ だけ変化する確率も $1/2$ である。最初は原点なので $u = 0$ である。6秒後に直線 $y = x$ 上にあるためには，6回の変化の和が0であればよく，これは $+ 1$ が3回， $- 1$ が3回起こることと同値である。

したがって求める確率は $\frac{_{6} C _{3}}{2 ^{6}} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$ である。

解法2

(1)

1秒後の4点のうち $t - s = - 1$ となるのは $(1, 0)$ と $(0, - 1)$ である。よって

P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

(2)

上または左への1歩では $y - x$ が1増え，右または下への1歩では1減る。6秒後に $y = x$ となるには，前者と後者が3回ずつでなければならない。

まず，上または左となる3回の位置を選ぶ方法が $_{6} C_{3}$ 通りある。その3回はそれぞれ上・左の2択，残り3回もそれぞれ右・下の2択だから，条件を満たす具体的な経路は

_{6} C_{3} 2^{3} 2^{3}

通りである。全経路は $4^{6}$ 通りなので

P = \frac{_{6} C _{3} 2 ^{6}}{4 ^{6}} = \frac{_{6} C _{3}}{2 ^{6}} = \frac{5}{16} .

東京大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2017年度
文系数学第3問