東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
1秒後に点$P$が到達できる点は $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ の4点であり，いずれも確率$1\mathrm{/}4$である。このうち，座標を$(s,t)$としたとき $t-s=-1$ を満たすのは $(1,0),(0,-1)$ の2点である。したがって求める確率は $$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ である。

(2) $u=y-x$ とおく。点が右へ動くと$x$が1増えるので$u$は$-1$だけ変化し，下へ動いても$y$が1減るので$u$は$-1$だけ変化する。一方，上または左へ動くと$u$は$+1$だけ変化する。

各回で$u$が$+1$だけ変化する確率は $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ であり，$-1$だけ変化する確率も$1\mathrm{/}2$である。最初は原点なので$u=0$である。6秒後に直線$y=x$上にあるためには，6回の変化の和が0であればよく，これは$+1$が3回，$-1$が3回起こることと同値である。

したがって求める確率は $$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$$ である。

(1) は4方向を直接確認する。(2)は6歩のうち「上または左」を選ぶ3箇所を決め，各箇所で具体的な方向を選ぶことで，条件を満たす経路数を直接数える。

(1) 1秒後の4点のうち$t-s=-1$となるのは$(1,0)$と$(0,-1)$である。よって$$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2) 上または左への1歩では$y-x$が1増え，右または下への1歩では1減る。6秒後に$y=x$となるには，前者と後者が3回ずつでなければならない。

まず，上または左となる3回の位置を選ぶ方法が${}_6{\mathrm{C}}_3$通りある。その3回はそれぞれ上・左の2択，残り3回もそれぞれ右・下の2択だから，条件を満たす具体的な経路は$${}_6{\mathrm{C}}_3{2}^3{2}^3$$通りである。全経路は$4^6$通りなので$$P=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3{2}^6}{4^6}=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{2^6}=\frac{5}{16}\mathrm{.}$$