東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

三角形が鋭角三角形であるためには，各頂点における2辺のなす角がすべて鋭角であればよい。これは，対応する2つのベクトルの内積がすべて正であることと同値である。

まず頂点$P$での条件を調べる。 $$\overrightarrow{PQ}=(-2x,-2y),\overrightarrow{PR}=(1-x,-y)$$ であるから$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=(-2x)(1-x)+(-2y)(-y)=2(x^2+y^2-x)$$である。したがって，$P$における角が鋭角である条件は $x^2+y^2>x$ である。

次に頂点$Q$での条件を調べる。 $$\overrightarrow{QP}=(2x,2y),\overrightarrow{QR}=(1+x,y)$$ なので$$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=2x(1+x)+2y^2=2(x^2+y^2+x)$$である。よって $x^2+y^2>-x$ が必要十分である。

最後に頂点$R$では $$\overrightarrow{RP}=(x-1,y),\overrightarrow{RQ}=(-x-1,-y)$$ であるから$$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=(x-1)(-x-1)-y^2=1-x^2-y^2$$である。したがって $x^2+y^2<1$ である。

以上を合わせると $$x^2+y^2>x,x^2+y^2>-x,x^2+y^2<1$$ である。前の2つは $x^2+y^2>\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ とまとめられるので，求める条件は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<x^2+y^2<1$ である。

図示について述べる。条件$x^2+y^2<1$は原点中心，半径1の円の内部である。また $x^2+y^2>x$ は $${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2>\frac{1}{4}$$ であり，中心$(1\mathrm{/}2,0)$，半径$1\mathrm{/}2$の円の外部を表す。同様に $x^2+y^2>-x$ は $${(x+\frac{1}{2})}^2+y^2>\frac{1}{4}$$ であり，中心$(-1\mathrm{/}2,0)$，半径$1\mathrm{/}2$の円の外部を表す。

したがって，求める点$P$の範囲は，単位円の内部のうち，この2つの小円の内部および境界を除いた部分である。すべて鋭角でなければならないので，どの境界も含まない。

別解。
鋭角三角形であることは，各辺について「その辺を直径とする円の外側に，残りの頂点がある」こととしても読める。例えば$P$の角が直角になる境界は，$Q,R$を直径の両端とする円であり，内積計算で得た$x^2+y^2=x$と一致する。結局，3つの直角境界を越えない条件として同じ領域が得られる。

三角形の3辺の長さを直接計算し，最大辺を場合分けせず，鋭角三角形の必要十分条件である『各辺の2乗が他の2辺の2乗和より小さい』を3本すべてに適用する。得られた3不等式を円の内外へ読み替え，境界を破線にして領域を図示する。

3辺の長さの2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =4(x^2+y^2),}\\ {\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =(x-1{)}^2+y^2,}\\ {\displaystyle Q{R}^2}& {\displaystyle =(x+1{)}^2+y^2\mathrm{.}}\end{array}$$三角形が鋭角であるための必要十分条件は，各辺について，その2乗が他の2辺の2乗和より小さいことである。まず$$P{Q}^2<P{R}^2+Q{R}^2⟺x^2+y^2<1.$$同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q{R}^2<P{Q}^2+P{R}^2}& {\displaystyle ⟺x^2+y^2>x,}\\ {\displaystyle P{R}^2<P{Q}^2+Q{R}^2}& {\displaystyle ⟺x^2+y^2>-x\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める条件は$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<x^2+y^2<1.$$前半の2条件を平方完成すると$${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2>\frac{1}{4},{(x+\frac{1}{2})}^2+y^2>\frac{1}{4}\mathrm{.}$$よって単位円の内部から，中心$(\pm 1\mathrm{/}2,0)$，半径$1\mathrm{/}2$の2円の内部と境界を除いた部分である。

どの境界上でも直角または退化となるので，境界は含まない。