東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
優勝が決まる前は，連続する2試合の勝者は同じではない。したがって勝者列は3チームを巡回する形に限られる。

1試合目で$A$が勝つ場合，優勝が決まるまでは $A,C,B,A,C,B,\dots$ と勝者が並ぶ。この場合，$(n-1)$試合目の勝者が$A$で，$n$試合目も$A$が勝つと，$A$がちょうど$n$試合目で優勝する。これは $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときである。

1試合目で$B$が勝つ場合，優勝が決まるまでは $B,C,A,B,C,A,\dots$ と勝者が並ぶ。この場合，$(n-1)$試合目の勝者が$A$となるのは $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときである。

したがって，$A$がちょうど$n$試合目で優勝する確率は$$\{\begin{array}{ll}{2}^{-n}& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}$$である。

(2)
まず，総試合数が$3m$回以下で$A$が優勝する確率を求める。(1)より該当する時刻は $2,5,8,\dots ,3m-1$ および $4,7,10,\dots ,3m-2$ である。したがって分母に当たる確率は $$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+\sum _{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}$$ であり，これは $\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}$ である。

次に，$A$の最後の対戦相手が$B$である場合を数える。初戦で$B$が勝つ巡回 $B,C,A,B,C,A,\dots$ では，$A$が優勝する直前の試合で$A$が勝ったとき，次の試合の相手は待機していた$B$である。したがって最後の相手が$B$となるのは $n=4,7,10,\dots ,3m-2$ のときである。よって分子に当たる確率は$$\sum _{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}=\frac{1}{16}\cdot \frac{1-8^{-(m-1)}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{14}(1-8^{-(m-1)})$$である。$m=1$のときはこの和は空で，右辺も0になる。

したがって求める条件付き確率は$$\frac{{\displaystyle \frac{1}{14}}(1-8^{-(m-1)})}{{\displaystyle \frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}}}=\frac{8^m-8}{5\cdot 8^m-12}$$である。

Aがちょうど$n$試合目に優勝する確率$p_n$に対して，非決着の巡回を3試合延ばす漸化式$p_{n+3}=p_n\mathrm{/}8$を使う。初期値から(1)を確定し，(2)では$n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$の系列だけが最後にBと当たることを状態の並びから判定する。

Aがちょうど$n$試合目に優勝する確率を$p_n$とする。優勝前の勝者は3チームを巡回するため，同じ状態へ3試合後に戻る。その3試合の結果は一意で，確率は$1\mathrm{/}8$だから$$p_{n+3}=\frac{1}{8}{p}_n\mathrm{.}$$初期値は$$p_2=\frac{1}{4},p_3=0,p_4=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$(1) よって$$p_n=\{\begin{array}{ll}{2}^{-n}& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\mathrm{.}\end{array}$$(2) 初戦をBが勝った状態から続く列は$B,C,A,B,C,A,\dots$である。この系列でAが2連勝するとき，最後の相手は待機していたBである。したがって該当する優勝時刻は$$n=4,7,\dots ,3m-2.$$分子は$$\sum _{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}=\frac{1}{14}(1-8^{-(m-1)})\mathrm{.}$$一方，条件となる『$3m$試合以下でAが優勝』の確率は$$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{1}{2^{3j+2}}+\sum _{j=0}^{m-2}\frac{1}{2^{3j+4}}=\frac{5\cdot 8^m-12}{14\cdot 8^m}\mathrm{.}$$したがって条件付き確率は$$\frac{8^m-8}{5\cdot 8^m-12}\mathrm{.}$$$m=1$では分子が0となり，この式とも一致する。