東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

すべての量は正なので，対数を取って示す。すなわち $${(1+\frac{1}{x})}^x<e$$ は $$x\log (1+\frac{1}{x})<1$$ と同値であり，$$e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+\frac{1}{2}}$$ は $$1<(x+\frac{1}{2})\log (1+\frac{1}{x})$$ と同値である。

まず$u>0$に対して $\varphi (u)=u-\log (1+u)$ とおく。すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=1-\frac{1}{1+u}=\frac{u}{1+u}>0$$ であり，$\varphi (0)=0$である。したがって$u>0$で $\varphi (u)>0$ すなわち $\log (1+u)<u$ である。ここで$u=1\mathrm{/}x$とすると $$\log (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}$$ であるから $$x\log (1+\frac{1}{x})<1$$ である。よって $${(1+\frac{1}{x})}^x<e$$ が成り立つ。

次に$u>0$に対して $$\psi (u)=\log (1+u)-\frac{2u}{u+2}$$ とおく。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\psi }^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle =\frac{1}{1+u}-\frac{4}{(u+2{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(u+2{)}^2-4(1+u)}{(1+u)(u+2{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{u^2}{(1+u)(u+2{)}^2}>0}\end{array}$$であり，$\psi (0)=0$である。したがって$u>0$で $$\log (1+u)>\frac{2u}{u+2}$$ である。$u=1\mathrm{/}x$とすると$$\log (1+\frac{1}{x})>\frac{2\cdot \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+2}=\frac{2}{2x+1}$$である。よって$$(x+\frac{1}{2})\log (1+\frac{1}{x})>(x+\frac{1}{2})\frac{2}{2x+1}=1$$である。したがって $$e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+\frac{1}{2}}$$ も成り立つ。

以上より，すべての正の実数$x$に対して $${(1+\frac{1}{x})}^x<e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+\frac{1}{2}}$$ である。

別解。
右側の評価は，$\log (1+u)$を直接近似するのではなく，$2u\mathrm{/}(u+2)$との差を見るのが要点である。左側・右側ともに「差を作って微分し，0から増加する」とそろえると，証明全体が同じ型でまとまる。

$u=1\mathrm{/}x$とおき，対数を定積分$\log (1+u)={\int }_0^u(1+t{)}^{-1}dt$として評価する。上側評価は被積分関数が1未満であることから得る。下側評価は区間の両端から等距離の2点を組にし，その逆数和を相加相乗平均で抑える。

$u=1\mathrm{/}x>0$とおく。対数の定積分表示から$$\log (1+u)={\int }_0^u\frac{dt}{1+t}\mathrm{.}$$$0<t<u$では$1\mathrm{/}(1+t)<1$だから$$\log (1+u)<u\mathrm{.}$$したがって$x\log (1+1\mathrm{/}x)<1$であり，$${(1+\frac{1}{x})}^x<e\mathrm{.}$$次に積分区間を中央で折り返すと$$\log (1+u)={\int }_0^{u\mathrm{/}2}\{\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1+u-t}\}dt\mathrm{.}$$正の2数の逆数和について$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqq \frac{4}{a+b}$$であるから，$a=1+t,b=1+u-t$とすれば$$\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1+u-t}\geqq \frac{4}{u+2}\mathrm{.}$$等号は$t=u\mathrm{/}2$の1点だけなので，積分すれば不等号は厳密になり，$$\log (1+u)>\frac{2u}{u+2}\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}x$を戻すと$$(x+\frac{1}{2})\log (1+\frac{1}{x})>1,$$したがって$$e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+1\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$以上より，求める二重不等式が成り立つ。