東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

直線$Q{P}_i$上の点を $Q+\lambda (P_i-Q)$ と表す。

まず$P_1(1,0,1)$について考える。直線$Q{P}_1$上の点は $$(0,0,a)+\lambda (1,0,1-a)=(\lambda ,0,a+\lambda (1-a))$$ である。これが$xy$平面上にあるには$z=0$であればよいので $a+\lambda (1-a)=0$ である。$1<a<3$より$a\mathrm{\ne }1$だから $$\lambda =\frac{a}{a-1}$$ である。したがって $$R_1=(\frac{a}{a-1},0,0)$$ である。

同様に$P_2(1,1,1)$については $$R_2=(\frac{a}{a-1},\frac{a}{a-1},0)$$ である。

次に$P_3(1,0,3)$については，直線上の点が $(0,0,a)+\lambda (1,0,3-a)$ であるから，$z=0$の条件は $a+\lambda (3-a)=0$ である。$a<3$より $$\lambda =\frac{a}{a-3}$$ であり，$$R_3=(\frac{a}{a-3},0,0)$$ である。 $R_1{R}_2$は$y$軸方向の線分で，その長さは $\frac{a}{a-1}$ である。また$R_1,R_3$はいずれも$x$軸上にあり，$1<a<3$では $$\frac{a}{a-1}>0,\frac{a}{a-3}<0$$ なので $$R_1{R}_3=\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a-3}=\frac{2a}{(a-1)(3-a)}$$ である。よって$$S(a)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{a-1}\cdot \frac{2a}{(a-1)(3-a)}=\frac{a^2}{(a-1{)}^2(3-a)}$$である。 $S(a)>0$なので，符号を見やすくするために $$\frac{S^{\mathrm{\prime }}(a)}{S(a)}=\frac{2}{a}-\frac{2}{a-1}+\frac{1}{3-a}$$ を計算する。整理すると $$\frac{S^{\mathrm{\prime }}(a)}{S(a)}=\frac{(a-2)(a+3)}{a(a-1)(3-a)}$$ である。$1<a<3$では分母と$a+3$は正なので，$S^{\mathrm{\prime }}(a)$の符号は$a-2$の符号と同じである。

したがって$S(a)$は$1<a<2$で減少し，$2<a<3$で増加する。よって最小となるのは $a=2$ のときであり，その値は $$S(2)=\frac{2^2}{(2-1{)}^2(3-2)}=4$$ である。

別解。 $R_1,R_2,R_3$の配置を見ると，三角形の面積は射影による拡大率の積としても読める。$z=0$への延長倍率が，$P_1,P_2$方向では$a\mathrm{/}(a-1)$，$P_3$方向では$a\mathrm{/}(a-3)$となるため，結局同じ有理式の最小化に帰着する。

直線と$xy$平面の交点を求めて面積の式を作るところまでは共通だが，最小化には微分を使わない。$S(a)\geqq 4$を分母が正であることに注意して多項式不等式へ直し，差を因数分解して等号条件を読む。

直線$Q{P}_i$を媒介変数で表して$z=0$とすると$$R_1=(\frac{a}{a-1},0,0),R_2=(\frac{a}{a-1},\frac{a}{a-1},0),R_3=(\frac{a}{a-3},0,0)\mathrm{.}$$したがって，底辺と高さから$$S(a)=\frac{a^2}{(a-1{)}^2(3-a)}\mathrm{.}$$$1<a<3$では分母が正である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2-4(a-1{)}^2(3-a)}& {\displaystyle =(a-2{)}^2(4a-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 0}\end{array}$$である。よって$$S(a)\geqq 4.$$範囲内では$4a-3>0$なので，等号が成り立つのは$a=2$のときに限る。したがって$S(a)$を最小にするのは$a=2$，最小値は$4$である。