東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}$$，$$\overrightarrow{CD}=\mathbf{v}$$とおく。正六角形の1辺の長さは1なので $$\mathrm{\mid }\mathbf{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathbf{v}\mathrm{\mid }=1$$ であり，辺$AB$と辺$CD$のなす角は${120}^{\circ }$である。

点$P$が辺$AB$上を動くので，$0\leqq r\leqq 1$を用いて $P=A+r\mathbf{u}$ と表せる。同様に，$0\leqq s\leqq 1$を用いて $Q=C+s\mathbf{v}$ と表せる。 $R$は線分$PQ$を$2:1$に内分する点，すなわち$PR:RQ=2:1$を満たす点であるから $$R=\frac{P+2Q}{3}$$ である。これに上の表示を代入すると $$R=\frac{A+2C}{3}+\frac{r}{3}\mathbf{u}+\frac{2s}{3}\mathbf{v}$$ となる。$r$と$s$は互いに独立に$0$から$1$まで動くので，$R$の通りうる範囲は，方向$\mathbf{u}$の長さ$1\mathrm{/}3$の辺と，方向$\mathbf{v}$の長さ$2\mathrm{/}3$の辺で張られる平行四辺形である。

したがって求める面積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{2}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$である。

正六角形を座標平面に置き，辺上の2点を媒介変数で表示する。内分点$R$の座標を2変数の一次式にし，係数ベクトルの行列式から通過範囲の面積を求める。

正六角形を$$A=(0,0),B=(1,0),C=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),D=(1,\sqrt{3})$$と置く。$0\leqq u,v\leqq 1$として$$P=(u,0),Q=(\frac{3}{2}-\frac{v}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}(1+v))$$と表せる。

$PR:RQ=2:1$より$R=(P+2Q)\mathrm{/}3$だから$$R=(1+\frac{u-v}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}(1+v))\mathrm{.}$$したがって，$u$を0から1まで動かしたときの変位ベクトルと，$v$を0から1まで動かしたときの変位ベクトルは$$(\frac{1}{3},0),(-\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$$である。$u,v$は独立に動くので，通過範囲はこの2ベクトルで張られる平行四辺形である。よって面積は$$\mid \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}-0\cdot (-\frac{1}{3})\mid =\frac{\sqrt{3}}{9}$$である。