東京大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1の正六角形 $A B C D E F$ が与えられている。点 $P$ が辺 $A B$ 上を，点 $Q$ が辺 $C D$ 上をそれぞれ独立に動くとき，線分 $P Q$ を $2 : 1$ に内分する点 $R$ が通りうる範囲の面積を求めよ。

出典：東京大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

$P$ と $Q$ をそれぞれ辺上の媒介変数で表し， $P R : R Q = 2 : 1$ から $R = (P + 2 Q) /3$ と書く。すると $R$ の変位は， $A B$ 方向に長さ $1/3$ ， $C D$ 方向に長さ $2/3$ だけ独立に動く。したがって通過範囲は平行四辺形であり，正六角形の辺 $A B$ と辺 $C D$ のなす角 $12 0^{\circ}$ を用いて面積を求める。

解法2

正六角形を座標平面に置き，辺上の2点を媒介変数で表示する。内分点 $R$ の座標を2変数の一次式にし，係数ベクトルの行列式から通過範囲の面積を求める。

解答

解法1

$A B = u$ ， $C D = v$ とおく。正六角形の1辺の長さは1なので $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1$ であり，辺 $A B$ と辺 $C D$ のなす角は $12 0^{\circ}$ である。

点 $P$ が辺 $A B$ 上を動くので， $0 ≦ r ≦ 1$ を用いて $P = A + r u$ と表せる。同様に， $0 ≦ s ≦ 1$ を用いて $Q = C + s v$ と表せる。 $R$ は線分 $P Q$ を $2 : 1$ に内分する点，すなわち $P R : R Q = 2 : 1$ を満たす点であるから $R = \frac{P + 2 Q}{3}$ である。これに上の表示を代入すると $R = \frac{A + 2 C}{3} + \frac{r}{3} u + \frac{2 s}{3} v$ となる。 $r$ と $s$ は互いに独立に $0$ から $1$ まで動くので， $R$ の通りうる範囲は，方向 $u$ の長さ $1/3$ の辺と，方向 $v$ の長さ $2/3$ の辺で張られる平行四辺形である。

したがって求める面積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{9}

である。

解法2

正六角形を

A = (0, 0), B = (1, 0), C = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}), D = (1, 3)

と置く。 $0 ≦ u, v ≦ 1$ として

P = (u, 0), Q = (\frac{3}{2} - \frac{v}{2}, \frac{3}{2} (1 + v))

と表せる。

$P R : R Q = 2 : 1$ より $R = (P + 2 Q) /3$ だから

R = (1 + \frac{u - v}{3}, \frac{3}{3} (1 + v)) .

したがって， $u$ を0から1まで動かしたときの変位ベクトルと， $v$ を0から1まで動かしたときの変位ベクトルは

(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, \frac{3}{3})

である。 $u, v$ は独立に動くので，通過範囲はこの2ベクトルで張られる平行四辺形である。よって面積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 0 \cdot (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9}

である。

東京大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

東京大学 2017年度
文系数学第2問