問題
を原点とする座標平面において，点を通り，線分と垂直な直線をとする。座標平面上を点が次の2つの条件をみたしながら動く。
条件1：
条件2： 点と直線の距離をとし，点と直線の距離をとするとき
このとき，が動く領域をとする。さらに，軸の正の部分と線分のなす角をとする。
(1) を図示し，その面積を求めよ。
% 図は省略
(2) のとりうる値の範囲を求めよ。
方針
解法1
直線 は に垂直で点 を通るので、まず と求める。条件1は帯状領域 であり、この帯の中では点 は直線 の上側にあるため距離の絶対値を外せる。条件2は放物線の上側という不等式に変わり、 は放物線と直線で囲まれる領域になる。面積は上下の差を積分する。 は原点から点 への方向で決まるので、 では の最小、 では の最大を調べる。境界のどこで方向が最も右向き・左向きになるかを、端点も含めて確認する。
解法2
領域の境界を求めた後、原点を通る直線を回転させる見方で偏角の限界を決める。右側の限界は放物線への接線、左側の限界は領域の左端を通る直線から得る。
解答
解法1
(1)
の傾きは1であるから、これに垂直な直線 の傾きは である。点 を通るので である。
条件1は すなわち であるから となる。
点 と直線 の距離は である。また条件1より なので、点 と の距離は である。したがって条件2は であり、これを について解くと である。
よって は で表される領域である。上下の境界の交点は より だから である。したがって図示すべき領域は、放物線 と直線 に囲まれる部分で、 の範囲は である。
面積は
である。
(2)
では下側境界の最小値が で だから、常に である。
まず の部分を考える。このとき を大きくするには、原点から見た傾き を小さくすればよい。固定した では が小さいほどよいので、下側境界 を見ればよい。したがって である。これを微分すると であり、 では で最小となる。その値は で、点は である。よって最大値は である。
次に の部分を考える。 とおくと であり、下側境界は となる。 では を小さくするには、 を大きくすればよい。これは を小さくすることと同じで、 である。この導関数は なので、 は で最小となる。したがって は 、すなわち で最大となる。このとき
である。
領域 は連結であり、 は 上で連続に値をとる。よって求める範囲は である。
解法2
(1)
直線 は である。条件1のもとでは だから、距離条件は
したがって領域 は
である。面積は
(2)
では、原点から見た右側の限界は直線 が下側の放物線に接するときに生じる。連立して
を得る。接する条件は判別式が0、すなわち
領域に向かう正の傾きは であり、接点は である。よって
一方 では、接線による候補は許される区間の外に出る。したがって最も左向きの半直線は領域の左端
を通る。ゆえに
領域は連結で は連続だから、求める範囲は
