東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$z=X+Yi$とおく。複素数平面で，複素数$u,v$が表す2つのベクトルの内積は $\mathrm{Re}(u\bar{v})$ で表せる。

まず頂点$A$での条件を調べる。$A$から$B,C$へ向かうベクトルは $$z-1,z^2-1=(z-1)(z+1)$$ である。したがって内積は$$\mathrm{Re}\{(z-1)\overline{(z-1)(z+1)}\}=\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{Re}(\overline{z+1})=\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2(X+1)$$である。鋭角条件はこれが正であることなので $X>-1$ である。

次に頂点$B$での条件を調べる。$B$から$A,C$へ向かうベクトルは $$1-z,z^2-z=z(z-1)$$ である。内積は$$\mathrm{Re}\{(1-z)\overline{z(z-1)}\}=\mathrm{Re}\{-\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2\bar{z}\}=-\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^{2}X$$である。したがって $X<0$ である。

最後に頂点$C$での条件を調べる。$C$から$A,B$へ向かうベクトルは $$1-z^2=(1-z)(1+z),z-z^2=z(1-z)$$ である。内積は$$\mathrm{Re}\{(1-z)(1+z)\overline{z(1-z)}\}=\mathrm{\mid }1-z{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{Re}\{(1+z)\bar{z}\}$$である。ここで$$\mathrm{Re}\{(1+z)\bar{z}\}=\mathrm{Re}(\bar{z}+z\bar{z})=X+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$$なので，条件は $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+X>0$ である。

以上を合わせると $$-1<X<0,X^2+Y^2+X>0$$ である。後半は $${(X+\frac{1}{2})}^2+Y^2>\frac{1}{4}$$ と書ける。

したがって求める範囲は，縦帯 $-1<X<0$ のうち，中心$(-1\mathrm{/}2,0)$，半径$1\mathrm{/}2$の円の外部である。ただし，境界は鋭角でなく直角または点の一致に対応するため含まない。

別解。
各頂点での直角条件を先に曲線として求めることもできる。$A$と$B$での直角条件はそれぞれ直線$X=-1$，$X=0$となり，$C$での直角条件は円$(X+1\mathrm{/}2{)}^2+Y^2=1\mathrm{/}4$となる。鋭角側を代表点で判定すれば，同じ領域が得られる。

3辺を$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$と因数分解して求め，鋭角三角形の必要十分条件『各辺の2乗が他の2辺の2乗和より小さい』を使う。共通因子$\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2$を消去すると，2直線と1円の不等式が直接得られる。

$z=X+Yi$とおく。3辺の長さは$$AB=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid },BC=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid },CA=\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$点が一致する場合は鋭角三角形にならないので，以下では$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }>0$として共通因子を消去できる。各辺の2乗が他の2辺の2乗和より小さい条件を順に使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C{A}^2<A{B}^2+B{C}^2}& {\displaystyle ⟺\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2<1+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2⟺X<0,}\\ {\displaystyle B{C}^2<C{A}^2+A{B}^2}& {\displaystyle ⟺\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2<\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2+1⟺X>-1,}\\ {\displaystyle A{B}^2<B{C}^2+C{A}^2}& {\displaystyle ⟺1<\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2⟺X^2+Y^2+X>0.}\end{array}$$したがって$$-1<X<0,{(X+\frac{1}{2})}^2+Y^2>\frac{1}{4}\mathrm{.}$$縦帯の境界と円周はいずれも含まない。