東京大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

座標平面において2つの放物線

A : y = s (x - 1)^{2}, B : y = - x^{2} + t^{2}

を考える。ただし， $s, t$ は実数で， $s > 0$ ， $0 < t < 1$ を満たすとする。

放物線 $A$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる領域の面積を $P$ とし，放物線 $B$ の $x ≧ 0$ の部分と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる領域の面積を $Q$ とする。 $A$ と $B$ がただ1点を共有するとき，

\frac{Q}{P}

の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

面積はどちらも軸との交点からすぐに積分で求める。共有点がただ1点である条件は，2つの放物線の交点を与える2次方程式が重解をもつこと，すなわち判別式0である。これにより $s$ を $t$ で表し， $Q / P$ を $0 < t < 1$ 上の1変数関数 $2 t (1 - t^{2})$ に落とす。最後は微分で増減を調べ，端点では最大が達成されないことも確認する。

解法2

面積と接する条件から $Q / P = 2 t (1 - t^{2})$ までは同様に整理し，微分を使わず相加平均と相乗平均の関係で最大値を決める。

解答

解法1

放物線 $A : y = s (x - 1)^{2}$ は $(1, 0)$ で $x$ 軸に接し， $y$ 軸とは $(0, s)$ で交わる。したがって， $A$ と両軸で囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ 1$ にあり，面積は

P = \int_{0}^{1} s (x - 1)^{2} d x = s [\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{s}{3}

である。

また， $B : y = - x^{2} + t^{2}$ の $x ≧ 0$ の部分は $x = t$ で $x$ 軸と交わるので，両軸で囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ t$ にある。よって

Q = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{t} = \frac{2 t ^{3}}{3}

である。

次に， $A$ と $B$ の共有点を調べる。交点の $x$ 座標は $s (x - 1)^{2} = - x^{2} + t^{2}$ を満たす。整理すると $(s + 1) x^{2} - 2 s x + s - t^{2} = 0$ である。2つの放物線がただ1点を共有するためには，この2次方程式が重解をもてばよい。判別式を4で割ったものを0とおくと $s^{2} - (s + 1) (s - t^{2}) = 0$ であり， $(s + 1) t^{2} = s$ を得る。したがって $s = \frac{t ^{2}}{1 - t ^{2}}$ である。ここで $0 < t < 1$ なので，この $s$ は確かに正である。

よって $\frac{Q}{P} = \frac{2 t ^{3} /3}{s /3} = \frac{2 t ^{3}}{s} = 2 t (1 - t^{2})$ である。 $h (t) = 2 t (1 - t^{2})$ とおくと $h^{'} (t) = 2 - 6 t^{2} = 2 (1 - 3 t^{2})$ である。 $0 < t < 1$ では， $0 < t < 1/ 3$ で増加し， $1/ 3 < t < 1$ で減少する。したがって最大は $t = \frac{1}{3}$ で生じ，最大値は

2 \cdot \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3 3} = \frac{4 3}{9}

である。

解法2

面積は

P = \int_{0}^{1} s (x - 1)^{2} d x = \frac{s}{3}, Q = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = \frac{2 t ^{3}}{3}

である。また，2つの放物線の交点を与える

(s + 1) x^{2} - 2 s x + s - t^{2} = 0

が重解をもつ条件から

(s + 1) t^{2} = s, s = \frac{t ^{2}}{1 - t ^{2}}

を得る。したがって

\frac{Q}{P} = 2 t (1 - t^{2}) .

ここで，正の3数

t^{2}, \frac{1 - t ^{2}}{2}, \frac{1 - t ^{2}}{2}

の和は1である。相加平均と相乗平均の関係より

\frac{t ^{2} ( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4} ≦ \frac{1}{27}

だから， $0 < t < 1$ に注意して

2 t (1 - t^{2}) ≦ \frac{4}{3 3} = \frac{4 3}{9} .

等号は $t^{2} = (1 - t^{2}) /2$ ，すなわち $t = 1/ 3$ のときに成り立つ。よって最大値は

\frac{4 3}{9}

である。

東京大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

東京大学 2017年度
文系数学第1問