東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

放物線$A:y=s(x-1{)}^2$は$(1,0)$で$x$軸に接し，$y$軸とは$(0,s)$で交わる。したがって，$A$と両軸で囲まれる部分は$0\leqq x\leqq 1$にあり，面積は$$P={\int }_0^{1}s(x-1{)}^{2}dx=s{\left[\frac{(x-1{)}^3}{3}\right]}_0^1=\frac{s}{3}$$である。

また，$B:y=-x^2+t^2$の$x\geqq 0$の部分は$x=t$で$x$軸と交わるので，両軸で囲まれる部分は$0\leqq x\leqq t$にある。よって$$Q={\int }_0^t(t^2-x^2)dx={[t^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_0^t=\frac{2t^3}{3}$$である。

次に，$A$と$B$の共有点を調べる。交点の$x$座標は $s(x-1{)}^2=-x^2+t^2$ を満たす。整理すると $(s+1)x^2-2sx+s-t^2=0$ である。2つの放物線がただ1点を共有するためには，この2次方程式が重解をもてばよい。判別式を4で割ったものを0とおくと $s^2-(s+1)(s-t^2)=0$ であり，$(s+1)t^2=s$ を得る。したがって $$s=\frac{t^2}{1-t^2}$$ である。ここで$0<t<1$なので，この$s$は確かに正である。

よって $$\frac{Q}{P}=\frac{2t^3\mathrm{/}3}{s\mathrm{/}3}=\frac{2t^3}{s}=2t(1-t^2)$$ である。$h(t)=2t(1-t^2)$とおくと $h^{\mathrm{\prime }}(t)=2-6t^2=2(1-3t^2)$ である。$0<t<1$では，$0<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$で増加し，$1\mathrm{/}\sqrt{3}<t<1$で減少する。したがって最大は $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で生じ，最大値は$$2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1-\frac{1}{3})=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$$である。

面積と接する条件から$Q\mathrm{/}P=2t(1-t^2)$までは同様に整理し，微分を使わず相加平均と相乗平均の関係で最大値を決める。

面積は$$P={\int }_0^{1}s(x-1{)}^{2}dx=\frac{s}{3},Q={\int }_0^t(t^2-x^2)dx=\frac{2t^3}{3}$$である。また，2つの放物線の交点を与える$$(s+1)x^2-2sx+s-t^2=0$$が重解をもつ条件から$$(s+1)t^2=s,s=\frac{t^2}{1-t^2}$$を得る。したがって$$\frac{Q}{P}=2t(1-t^2)\mathrm{.}$$ここで，正の3数$$t^2,\frac{1-t^2}{2},\frac{1-t^2}{2}$$の和は1である。相加平均と相乗平均の関係より$$\frac{t^2(1-t^2{)}^2}{4}\leqq \frac{1}{27}$$だから，$0<t<1$に注意して$$2t(1-t^2)\leqq \frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}\mathrm{.}$$等号は$t^2=(1-t^2)\mathrm{/}2$，すなわち$t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$のときに成り立つ。よって最大値は$$\frac{4\sqrt{3}}{9}$$である。