東京大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a > 0$ ， $b > 0$ とする。座標平面上の曲線

C : y = x^{3} - 3 a x^{2} + b

が，以下の2条件を満たすとする。

条件1： Cは $x$ 軸に接する。

条件2： $x$ 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点がちょうど1個ある。

$b$ を $a$ で表し， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第1問

接する条件から三次式と導関数の共通零点を求め、 $b = 4 a^{3}$ と因数分解を得る。囲まれた領域に入る整数の $x$ 座標を $x = 0, 1$ に絞り、境界を含まないことに注意して各縦線上の整数点を数える。

増減表から極小点が $x = 2 a$ であることを使い、接する条件を $b = 4 a^{3}$ とする。その後は $x = 0$ 上の高さを $b$ として直接管理し、 $1 < b ≦ 2$ が必要十分であることを示す。

$f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + b$ とおく。 $C$ が $x$ 軸に接するためには、 $f (x) = 0$ が重解をもつ。導関数は

f^{'} (x) = 3 x (x - 2 a)

である。 $f (0) = b > 0$ だから接点は $x = 0$ ではなく $x = 2 a$ であり、

f (2 a) = b - 4 a^{3} = 0.

したがって

b = 4 a^{3}, f (x) = (x + a) (x - 2 a)^{2} .

囲まれた開領域は

- a < x < 2 a, 0 < y < (x + a) (x - 2 a)^{2}

である。とくに $x = 0$ 上の高さは $f (0) = 4 a^{3}$ である。もし $4 a^{3} > 2$ なら $(0, 1), (0, 2)$ がともに領域内に入り、条件2に反する。よって

4 a^{3} ≦ 2, a ≦ 3 \frac{1}{2} < 1.

この範囲では $- a < x < 2 a$ を満たす整数 $x$ は、常に $x = 0$ 、さらに $a > \frac{1}{2}$ のときだけ $x = 1$ である。 $x = 1$ については

f (1) - 1 = a (4 a^{2} - 3) < 0

である。実際、 $a ≦ 3 1/2$ から $a^{2} < 3/4$ となる。したがって $f (1) < 1$ であり、 $x = 1$ 上に正の整数点はない。

よって格子点は $x = 0$ 上だけを調べればよい。開領域内の格子点が $(0, 1)$ の1個だけになる必要十分条件は

1 < 4 a^{3} ≦ 2.

左端では $(0, 1)$ が境界上なので除かれ、右端では $(0, 2)$ が境界上なので $(0, 1)$ だけが残る。以上より

b = 4 a^{3}, 3 \frac{1}{4} < a ≦ 3 \frac{1}{2}

を得る。

導関数

f^{'} (x) = 3 x (x - 2 a)

の符号から、 $x = 0$ は極大点、 $x = 2 a$ は極小点である。 $b > 0$ なので極大点 $(0, b)$ は $x$ 軸上にない。したがって $C$ が $x$ 軸に接する条件は、極小値が0になること、すなわち

f (2 a) = b - 4 a^{3} = 0

である。よって $b = 4 a^{3}$ である。

ここで条件2を高さ $b$ で考える。 $x = 0$ は囲まれた領域の内部を通り、その縦断面は

0 < y < b .

格子点がちょうど1個なら、この縦断面だけから

1 < b ≦ 2

が必要である。したがって

a = 3 \frac{b}{4} ≦ 3 \frac{1}{2} < 1.

ゆえに領域内に入り得る整数の $x$ 座標は $0$ と、 $2 a > 1$ の場合の $1$ だけである。

$x = 1$ での高さを $b$ を用いて書くと

f (1) = 1 - 3 3 \frac{b}{4} + b .

ただし直接 $a$ で比較する方が簡明であり、

f (1) - 1 = a (4 a^{2} - 3) < 0

となるから、 $x = 1$ 上には正の整数点がない。したがって $1 < b ≦ 2$ は十分でもある。

最後に $b = 4 a^{3}$ へ戻すと

b = 4 a^{3}, 3 \frac{1}{4} < a ≦ 3 \frac{1}{2} .