東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$f(x)=x^3-3a{x}^2+b$ とおく。$C$ が $x$ 軸に接するためには、$f(x)=0$ が重解をもつ。導関数は$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x(x-2a)$$である。$f(0)=b>0$ だから接点は $x=0$ ではなく $x=2a$ であり、$$f(2a)=b-4a^3=0.$$したがって$$b=4a^3,f(x)=(x+a)(x-2a{)}^2\mathrm{.}$$囲まれた開領域は$$-a<x<2a,0<y<(x+a)(x-2a{)}^2$$である。とくに $x=0$ 上の高さは $f(0)=4a^3$ である。もし $4a^3>2$ なら $(0,1),(0,2)$ がともに領域内に入り、条件2に反する。よって$$4a^3\leqq 2,a\leqq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}<1.$$この範囲では $-a<x<2a$ を満たす整数 $x$ は、常に $x=0$、さらに $a>\frac{1}{2}$ のときだけ $x=1$ である。$x=1$ については$$f(1)-1=a(4a^2-3)<0$$である。実際、$$a\leqq \sqrt[3]{1\mathrm{/}2}$$ から $a^2<3\mathrm{/}4$ となる。したがって $f(1)<1$ であり、$x=1$ 上に正の整数点はない。

よって格子点は $x=0$ 上だけを調べればよい。開領域内の格子点が $(0,1)$ の1個だけになる必要十分条件は$$1<4a^3\leqq 2.$$左端では $(0,1)$ が境界上なので除かれ、右端では $(0,2)$ が境界上なので $(0,1)$ だけが残る。以上より$$\begin{array}{c}{\displaystyle b=4a^3,}\\ {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{4}}<a\leqq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\end{array}$$を得る。

増減表から極小点が $x=2a$ であることを使い、接する条件を $b=4a^3$ とする。その後は $x=0$ 上の高さを $b$ として直接管理し、$1<b\leqq 2$ が必要十分であることを示す。

導関数$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x(x-2a)$$の符号から、$x=0$ は極大点、$x=2a$ は極小点である。$b>0$ なので極大点 $(0,b)$ は $x$ 軸上にない。したがって $C$ が $x$ 軸に接する条件は、極小値が0になること、すなわち$$f(2a)=b-4a^3=0$$である。よって $b=4a^3$ である。

ここで条件2を高さ $b$ で考える。$x=0$ は囲まれた領域の内部を通り、その縦断面は$$0<y<b\mathrm{.}$$格子点がちょうど1個なら、この縦断面だけから$$1<b\leqq 2$$が必要である。したがって$$a=\sqrt[3]{\frac{b}{4}}\leqq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}<1.$$ゆえに領域内に入り得る整数の $x$ 座標は $0$ と、$2a>1$ の場合の $1$ だけである。

$x=1$ での高さを $b$ を用いて書くと$$f(1)=1-3\sqrt[3]{\frac{b}{4}}+b\mathrm{.}$$ただし直接 $a$ で比較する方が簡明であり、$$f(1)-1=a(4a^2-3)<0$$となるから、$x=1$ 上には正の整数点がない。したがって $1<b\leqq 2$ は十分でもある。

最後に $b=4a^3$ へ戻すと$$b=4a^3,\sqrt[3]{\frac{1}{4}}<a\leqq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$