東京大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

Oを原点とする座標平面において，放物線

y = x^{2} - 2 x + 4

のうち $x ≧ 0$ を満たす部分をCとする。

(1) 点PがC上を動くとき，Oを端点とする半直線OPが通過する領域を図示せよ。

(2) 実数 $a$ に対して，直線

l : y = a x

を考える。次の条件を満たす $a$ の範囲を求めよ。
C上の点Aと $l$ 上の点Bで，3点O，A，Bが正三角形の3頂点となるものがある。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1（偏角を回転する方法）

$C$ 上の点への半直線の傾き $y / x$ の値域を求め、通過領域を確定する。正三角形では $O B$ が $O A$ を $\pm 6 0^{\circ}$ 回転した方向になるため、 $O A$ の偏角の範囲を平行移動して正接の値域を求める。

解法2（傾きの回転公式を直接使う方法）

半直線 $O A$ の傾きを $m$ とし、(1)から $m ≧ 2$ を得る。傾き $m$ の直線を $\pm 6 0^{\circ}$ 回転した傾きを有理式で表し、その単調性と端点・極限から2区間を求める。

解答

解法1（偏角を回転する方法）

(1)

$C$ 上の点を

P = (x, x^{2} - 2 x + 4) (x ≧ 0)

とする。 $x > 0$ のとき半直線 $O P$ の傾きは

\frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x} = x - 2 + \frac{4}{x} .

相加相乗平均より

x + \frac{4}{x} ≧ 4

であり、等号は $x = 2$ のときに成り立つ。したがって傾きの最小値は2である。また $x \to 0 + 0$ および $x \to \infty$ で傾きは限りなく大きくなるから、2以上のすべての値をとる。 $x = 0$ の点 $(0, 4)$ は正の $y$ 軸を与える。よって通過領域は

x ≧ 0, y ≧ 2 x .

(2)

半直線 $O A$ の偏角を $θ$ とする。(1)より

arctan 2 ≦ θ ≦ \frac{π}{2} .

正三角形 $O A B$ を作る半直線 $O B$ は、 $O A$ を時計回りまたは反時計回りに $π /3$ 回転した方向である。したがって

a = tan (θ - \frac{π}{3}) または a = tan (θ + \frac{π}{3}) .

前者では

arctan 2 - \frac{π}{3} ≦ θ - \frac{π}{3} ≦ \frac{π}{6}

であり、正接は単調増加する。端点を計算すると

tan (arctan 2 - \frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{1 + 2 3} = \frac{5 3 - 8}{11}, tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3} .

後者では

arctan 2 + \frac{π}{3} ≦ θ + \frac{π}{3} ≦ \frac{5 π}{6},

この区間も正接の1つの単調区間に含まれる。よって

tan (arctan 2 + \frac{π}{3}) = - \frac{8 + 5 3}{11}, tan \frac{5 π}{6} = - \frac{1}{3} .

以上より

- \frac{8 + 5 3}{11} ≦ a ≦ - \frac{1}{3}

または

\frac{5 3 - 8}{11} ≦ a ≦ \frac{1}{3} .

解法2（傾きの回転公式を直接使う方法）

(1)

半直線 $O P$ の傾きは

m (x) = x - 2 + \frac{4}{x} (x > 0)

である。微分すると

m^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}}

だから、 $0 < x ≦ 2$ で減少、 $x ≧ 2$ で増加し、最小値は $m (2) = 2$ である。 $x = 0$ が正の $y$ 軸を与えることも合わせ、通過領域は

x ≧ 0, y ≧ 2 x

となる。

(2)

$O A$ の傾きを $m$ とすると $m ≧ 2$ である。傾き $m$ の直線を $6 0^{\circ}$ 時計回り、反時計回りに回転した傾きは、それぞれ

ϕ_{-} (m) = \frac{m - 3}{1 + 3 m}, ϕ_{+} (m) = \frac{m + 3}{1 - 3 m} .

どちらも

ϕ_{-}^{'} (m) = ϕ_{+}^{'} (m) = \frac{4}{( 1 \pm 3 m ) ^{2}} > 0

である。

時計回りの場合は

ϕ_{-} (2) = \frac{5 3 - 8}{11}, m \to \infty lim ϕ_{-} (m) = \frac{1}{3} .

鉛直な $O A$ も実際に存在し、その回転後の傾きが $1/ 3$ なので右端も含む。

反時計回りの場合は

ϕ_{+} (2) = - \frac{8 + 5 3}{11}, m \to \infty lim ϕ_{+} (m) = - \frac{1}{3},

同様に右端も含む。したがって求める範囲は

- \frac{8 + 5 3}{11} ≦ a ≦ - \frac{1}{3}, \frac{5 3 - 8}{11} ≦ a ≦ \frac{1}{3} .

東京大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（偏角を回転する方法）

解法2（傾きの回転公式を直接使う方法）

解答

解法1（偏角を回転する方法）

(1)

(2)

解法2（傾きの回転公式を直接使う方法）

(1)

(2)

東京大学 2020年度
文系数学第3問