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東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

Oを原点とする座標平面において，放物線y=x2−2x+4のうちx≧0を満たす部分をCとする。

(1) 点PがC上を動くとき，Oを端点とする半直線OPが通過する領域を図示せよ。

(2) 実数aに対して，直線l:y=axを考える。次の条件を満たすaの範囲を求めよ。

C上の点Aとl上の点Bで，3点O，A，Bが正三角形の3頂点となるものがある。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安24分

図形と方程式、三角関数、関数　図形的解釈、範囲評価、三角比の利用、軌跡

方針

C 上の点への半直線の傾き y/x の値域を求め、通過領域を確定する。正三角形では OB が OA を ±60∘ 回転した方向になるため、OA の偏角の範囲を平行移動して正接の値域を求める。

解答

(1)

C 上の点をP=(x,x2−2x+4)(x≧0)とする。x>0 のとき半直線 OP の傾きはx2−2x+4x=x−2+4x.相加相乗平均よりx+4x≧4であり、等号は x=2 のときに成り立つ。したがって傾きの最小値は2である。また x→0+0 および x→∞ で傾きは限りなく大きくなるから、2以上のすべての値をとる。x=0 の点 (0,4) は正の y 軸を与える。よって通過領域はx≧0,y≧2x.ここで 0<β<π/2，tan⁡β=2 を満たす角 β をとる。

(2)

半直線 OA の偏角を θ とする。(1)よりβ≦θ≦π2.正三角形 OAB を作る半直線 OB は、OA を時計回りまたは反時計回りに π/3 回転した方向である。したがってa=tan⁡(θ−π3)またはa=tan⁡(θ+π3).前者ではβ−π3≦θ−π3≦π6であり、正接は単調増加する。端点を計算するとtan⁡(β−π3)=2−31+23=53−811,tan⁡π6=13.後者ではβ+π3≦θ+π3≦5π6,この区間も正接の1つの単調区間に含まれる。よってtan⁡(β+π3)=−8+5311,tan⁡5π6=−13.以上より−8+5311≦a≦−13または53−811≦a≦13.

別解

解法2（傾きの回転公式を直接使う方法）

方針

半直線 OA の傾きを m とし、(1)から m≧2 を得る。傾き m の直線を ±60∘ 回転した傾きを有理式で表し、その単調性と端点・極限から2区間を求める。

解答

(1)

半直線 OP の傾きはm(x)=x−2+4x(x>0)である。微分するとm′(x)=1−4x2だから、0<x≦2 で減少、x≧2 で増加し、最小値は m(2)=2 である。x=0 が正の y 軸を与えることも合わせ、通過領域はx≧0,y≧2xとなる。

(2)

OA の傾きを m とすると m≧2 である。傾き m の直線を 60∘ 時計回り、反時計回りに回転した傾きは、それぞれϕ−(m)=m−31+3m,ϕ+(m)=m+31−3m.どちらもϕ−′(m)=ϕ+′(m)=4(1±3m)2>0である。

時計回りの場合はϕ−(2)=53−811,lim⁡m→∞ϕ−(m)=13.鉛直な OA も実際に存在し、その回転後の傾きが 1/3 なので右端も含む。

反時計回りの場合はϕ+(2)=−8+5311,lim⁡m→∞ϕ+(m)=−13,同様に右端も含む。したがって求める範囲は−8+5311≦a≦−13,53−811≦a≦13.

総評

難度6、計算量5。想定時間は24分程度。(1)は半直線の傾きの値域を求める問題で、x=0 が正の y 軸を与えることまで図に反映する。(2)では正三角形を距離の連立条件にせず、方向を 60∘ 回転すると読むのが要点である。正接の区間をまたがないことと、鉛直な OA に対応する端点が含まれることを確認する。

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出典: 東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。