東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 仮定より$$KA=LB,K\equiv L(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。奇数 $K$ は $K^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ を満たすので，4を法として逆元をもつ。したがって合同式 $KA\equiv LB(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ の両辺に $K$ の逆元をかけ，$K\equiv L(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ を用いれば$$A\equiv B(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$を得る。

(2) 正整数 $M$ を割り切る2の最大の累乗の指数を $\nu (M)$ と書く。$(4m)!$ では，2の倍数から少なくとも $2m$ 個，4の倍数からさらに $m$ 個の2が現れ，4の倍数に残る追加分は $m!$ に含まれる2の個数と一致する。よって$$\nu ((4m)!)=3m+\nu (m!)$$である。また $4m+1$ は奇数なので $\nu ((4m+1)!)=\nu ((4m)!)$ である。

$n=a-b$ とおき，$$A={}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1},B={}_a{\mathrm{C}}_b$$とする。上の関係から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \nu (A)}& {\displaystyle =\nu ((4a+1)!)-\nu ((4b+1)!)-\nu ((4n)!)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{3a+\nu (a!)\}-\{3b+\nu (b!)\}-\{3n+\nu (n!)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\nu (B)}\end{array}$$である。共通の値を $e$ とし$$A=2^e{A}_0,B=2^e{B}_0$$と書けば，$A_0,B_0$ は正の奇数である。そこで$$K=B_0,L=A_0$$とおけば，$KA=LB$ が成り立つ。

(3) 正整数 $m$ に対し，$m!$ から2の因子をすべて除いた奇数部分を $O_m$ とする。$1,2,\dots ,4m$ を4個ずつに分けて奇数部分を比べる。

$4j$ の奇数部分は $j$ の奇数部分であり，$4j-2$ の奇数部分は $2j-1$ である。また$$(4j-3)(4j-1)\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。さらに $1,3,5,\dots ,2m-1$ のうち4で割って3余るものは $\lfloor m\mathrm{/}2\rfloor$ 個なので$$O_{4m}\equiv O_{4m+1}\equiv (-1{)}^{m+\lfloor m\mathrm{/}2\rfloor }{O}_m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$となる。ここで$${\epsilon }_m=(-1{)}^{m+\lfloor m\mathrm{/}2\rfloor }$$とおく。

二項係数から2の因子を除いた奇数部分を比較すると，(2)で得た $A_0,B_0$ について$$A_0\equiv {\epsilon }_a{\epsilon }_b{\epsilon }_n{B}_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。いま $n=a-b$ は偶数である。$a=b+n$ を用いると，${\epsilon }_a{\epsilon }_b{\epsilon }_n$ の指数の偶奇は$$\lfloor \frac{a}{2}\rfloor +\lfloor \frac{b}{2}\rfloor +\frac{n}{2}=2\lfloor \frac{b}{2}\rfloor +n$$の偶奇に等しく，これは偶数である。したがって$$A_0\equiv B_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$となる。(2)で選んだ $K=B_0,L=A_0$ は4で割った余りが等しいので，(1)より$${}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}\equiv {}_a{\mathrm{C}}_b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$を得る。

(4) $$2021=4\cdot 505+1,37=4\cdot 9+1$$で，$505-9=496$ は偶数であるから，(3)より$${}_{2021}{\mathrm{C}}_{37}\equiv {}_{505}{\mathrm{C}}_9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。さらに$$505=4\cdot 126+1,9=4\cdot 2+1$$で，$126-2=124$ も偶数なので$${}_{505}{\mathrm{C}}_9\equiv {}_{126}{\mathrm{C}}_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$である。最後に$${}_{126}{\mathrm{C}}_2=\frac{126\cdot 125}{2}=63\cdot 125\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$より，求める余りは$$3$$である。