東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$f(n)=n^3+10n^2+20n=n(n^2+10n+20)$$ である。$f(n)$が素数であるとは，$f(n)$が2以上の正の素数であることをいう。

整数の積$n(n^2+10n+20)$が正の素数になるためには，因数の一方が$1$または$-1$でなければならない。場合分けする。

$n=1$のとき $f(1)=1+10+20=31$ であり，これは素数である。

$n=-1$のとき $f(-1)=-1+10-20=-11$ であり，正の素数ではない。

次に，$n$が2以上の正の素数で，もう一方の因数が1の場合を考える。このとき $n^2+10n+20=1$ であり，$n^2+10n+19=0$ となる。しかし判別式は ${10}^2-4\cdot 19=24$ で平方数ではないので，整数解をもたない。

最後に，$n$が負で$\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$が素数，もう一方の因数が$-1$の場合を考える。このとき $n^2+10n+20=-1$ であり，$n^2+10n+21=0$ すなわち $(n+3)(n+7)=0$ である。よって $n=-3,-7$ を得る。実際，$f(-3)=3,f(-7)=7$ であり，どちらも素数である。

以上より，求める整数$n$は $-7,-3,1$ である。

(2) $$g(n)=n^3+a{n}^2+bn=n(n^2+an+b)$$ である。$g(n)$が正の素数になるなら，整数の積の一方が$1$または$-1$でなければならない。したがって，可能性は次の4種類に限られる。$$\begin{array}{ll}\mathrm{A}:& n=1\text{ で }g(1)=1+a+b\text{ が素数},\\ \mathrm{B}:& n=-1\text{ で }g(-1)=a-b-1\text{ が素数},\\ \mathrm{C}:& n=p\text{ が正の素数で }{p}^2+ap+b=1,\\ \mathrm{D}:& n=-p\text{ が負の整数で }p\text{ が正の素数，かつ }{p}^2-ap+b=-1.\end{array}$$まず，CとDは同時には起こらないことを示す。Cが正の素数$p$で起こり，Dが正の素数$q$に対して起こると仮定する。すると $$p^2+ap+b=1,q^2-aq+b=-1$$ である。2式を引くと $p^2-q^2+a(p+q)=2$ すなわち $(p+q)(p-q+a)=2$ となる。しかし$p,q$は正の素数なので$p+q>2$であり，左辺は整数の積であるから2にはなりえない。よってCとDは同時には起こらない。

次に，$g(n)$が素数となる整数$n$が4個以上あると仮定して矛盾を導く。AとBはそれぞれ高々1個ずつであり，CとDは同時に起こらない。また，CもDもそれぞれ2次方程式で決まるので，それぞれ高々2個である。したがって4個以上にするには，AとBがともに起こり，さらにCが2個以上またはDが2個以上起こる必要がある。

AとBがともに起こるなら，$1+a+b$と$a-b-1$はいずれも正の素数である。したがってその和 $(1+a+b)+(a-b-1)=2a$ は正であり，$a>0$ である。

Cが2個以上起こるとする。相異なる正の素数$p,q$について $$p^2+ap+b=1,q^2+aq+b=1$$ が成り立つ。2式を引くと $(p-q)(p+q+a)=0$ である。$p\mathrm{\ne }q$であり，また$p+q+a>0$であるから，これは不可能である。

Dが2個以上起こるとする。相異なる正の素数$p,q$について $$p^2-ap+b=-1,q^2-aq+b=-1$$ が成り立つ。2式を引くと $(p-q)(p+q-a)=0$ であり，$p\mathrm{\ne }q$より $a=p+q$ である。これを$p^2-ap+b=-1$に代入すると $p^2-p(p+q)+b=-1$ より $b=pq-1$ である。

ところがBが起こるためには $g(-1)=a-b-1$ が正の素数でなければならない。しかし上の$a,b$を代入すると $$a-b-1=(p+q)-(pq-1)-1=p+q-pq=1-(p-1)(q-1)$$ である。$p,q$は相異なる正の素数なので$p,q\geqq 2$であり，右辺は0以下である。したがって$g(-1)$は正の素数ではない。これはBが起こることに矛盾する。

以上より，Cが2個以上の場合もDが2個以上の場合も不可能である。したがって$g(n)$が素数となる整数$n$の個数は3個以下である。