問題
を正の整数とする。 の正の約数のうち， で割った余りが であるものの個数を ， で割った余りが であるものの個数を とする。
(1) を求めよ。
(2) 任意の正の整数 について であることを示せ。
(3) を満たす正の整数 について， としてありうる値をすべて求めよ。
方針
素因数を 、、 の3群に分ける。数えられる約数では3の指数は0であり、 の群は共通倍率 を与える。 の群では選択指数和の偶奇が余り1・2に対応する。各指数範囲にある偶数・奇数の個数差を掛け合わせて を示し、(3)では「上限に奇数がある場合」と「すべて偶数の場合」に分けて候補と具体例を確定する。
解答
(1)
まず である。ここで である。
約数は
と表される。 は3で割った余りが常に1なので，余りを決めるのは の部分である。 も も3で割ると2余るので， が偶数なら余りは1，奇数なら余りは2である。 では偶数の が3個，奇数の が2個ある。 では偶数の が2個，奇数の が1個ある。したがって が偶数になる選び方は 通りであり，奇数になる選び方は 通りである。さらに は0または1の2通りあり，余りを変えない。よって である。
(2)
任意の正の整数 を考える。 の素因数のうち，3そのものの指数は， の個数には直接影響しない。なぜなら，約数が3を因数にもつと，その約数は3で割り切れ，余り1または2にはならないからである。したがって，数えられる約数では3の指数は0に限られる。
3で割って1余る素因数からなる部分の約数の個数を とする。この部分はどのように選んでも3で割った余りが1なので，余り1と余り2の個数を同じ倍率 だけ増やす。
次に，3で割って2余る素因数を とする。この部分の約数は と表される。各 であるから，指数和 が偶数なら余りは1，奇数なら余りは2である。
各 について， に含まれる偶数の個数を ，奇数の個数を とする。指数を順に選ぶとき，偶数和と奇数和の個数差は
となる。実際，新しい指数を加えるたびに差はその指数範囲の「偶数の個数と奇数の個数の差」倍になる。 が奇数なら ，偶数なら であるから， は0または1である。よって必ず となる。
全体では であるから， が成り立つ。
(3)
(2)と同じ記号を用いる。3で割って2余る素因数部分について，指数選択の総数を とする。また，指数和が偶数になる選び方の数を ，奇数になる選び方の数を とする。
まず，少なくとも1つの が奇数である場合を考える。このとき，その について の中の偶数の個数と奇数の個数が等しい。したがって全体でも偶数和と奇数和の選び方は同数になり， である。この場合 より， なら である。この値は実際に可能である。たとえば，3で割って2余る素数を1つだけ指数29で含めれば ， となる。
次に，すべての が偶数である場合を考える。このとき各 は奇数なので は奇数であり，偶数和の選び方が奇数和の選び方より1だけ多い。すなわち である。
条件 は であるから である。ここで は奇数なので は偶数である。したがって は偶数でなければならない。 は30の正の約数であるから，可能な は である。
このとき である。したがって，対応する の値は である。これらも実際に可能である。 に対し とおけば，， で，2の指数 は偶数，7の部分の約数個数は となる。したがって順に が実現する。なお は で実現する。
以上より， のとき としてありうる値は である。