東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

裏が合計 $q$ 回出たとし、裏がすでに $j$ 回出ている間に出た表の回数を $c_j$ とおく。$j=0,1,\dots ,q$ であり、各 $c_j$ は0以上の整数である。このとき $$\overrightarrow{O{X}_N}=\sum _{j=0}^q{c}_j\overrightarrow{v_j}$$ である。

また$$\overrightarrow{v_{j+3}}=\overrightarrow{v_j},\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{0}$$である。3方向の表の回数を$$C_0=\sum _{j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j,C_1=\sum _{j\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j,C_2=\sum _{j\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)}{c}_j$$とおくと、$X_N=O$ となることは $C_0=C_1=C_2$ と同値である。

(1) $N=8$ のとき、原点に戻るには表の総数が3の倍数でなければならない。表の回数は $0,3,6$ のいずれかである。

表が0回のときはすべて裏であり、1通りである。

表が3回のとき、裏は5回である。ブロックは $c_0,c_1,\dots ,c_5$ の6個で、各方向には2個ずつのブロックが属する。3方向それぞれについて、2個の非負整数の和が1となればよいので、その数は方向ごとに $${}_{1+2-1}{\mathrm{C}}_{2-1}=2$$ 通りである。よってこの場合は $2^3=8$ 通りである。

表が6回のとき、裏は2回である。ブロックは $c_0,c_1,c_2$ の3個で、3方向に2回ずつ進む必要があるから $c_0=c_1=c_2=2$ の1通りである。

したがって有利な出方は $1+8+1=10$ 通りである。全事象は $2^8$ 通りなので、求める確率は $$\frac{10}{2^8}=\frac{5}{128}$$ である。

(2)
表の回数が $r$ 回であるとする。原点に戻るには3方向の表の回数が等しくなければならないので、$r$ が3の倍数でないときは $p_r=0$ である。

以下、$r=3m$ とおく。$0\leqq r\leqq 200$ なので $0\leqq m\leqq 66$ である。このとき裏の回数は $200-3m=3(66-m)+2$ であるから、表のブロック数は $(200-3m)+1=3(67-m)$ 個である。したがって各方向に属するブロックの個数は $67-m$ 個ずつである。

原点に戻るには、各方向で表が $m$ 回ずつ出ればよい。よって1つの方向について、$67-m$ 個の非負整数の和が $m$ となる解の個数は$${}_{m+(67-m)-1}{\mathrm{C}}_{(67-m)-1}={}_{66}{\mathrm{C}}_{66-m}={}_{66}{\mathrm{C}}_m$$である。3方向は独立に選べるので、条件を満たす出方は $({}_{66}{\mathrm{C}}_m{)}^3$ 通りである。

全事象は $2^{200}$ 通りであるから$$p_r=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{({}_{66}{\mathrm{C}}_m{)}^3}{2^{200}}}& (r=3m,0\leqq m\leqq 66),\\ 0& (r\text{ が3の倍数でないとき})\end{array}$$である。

最後に最大となる $r$ を求める。$p_{3m}$ の分母は一定なので、${}_{66}{\mathrm{C}}_m$ が最大となる $m$ を調べればよい。$$\frac{{}_{66}{\mathrm{C}}_{m+1}}{{}_{66}{\mathrm{C}}_m}=\frac{66-m}{m+1}$$である。この比は $m<32.5$ で1より大きく、$m>32.5$ で1より小さい。したがって ${}_{66}{\mathrm{C}}_m$ は $m=33$ で最大となる。よって $p_r$ が最大となる $r$ は $r=3\cdot 33=99$ である。

3方向を複素数 $1,\omega ,{\omega }^2$ で表し、原点復帰条件を3方向の回数一致へ変換する。裏で区切った表のrun長を方向別の弱い組合せとして数え、最後は隣接する二項係数の比で最大を決める。

$$\omega =\cos (2\pi \mathrm{/}3)+i\sin (2\pi \mathrm{/}3)$$ とする。3方向の表の総数を $C_0,C_1,C_2$ とすると最終位置は$$C_0+C_1\omega +C_2{\omega }^2=(C_0-C_2)+(C_1-C_2)\omega \mathrm{.}$$$1,\omega$ は実数上で独立だから、原点復帰は $C_0=C_1=C_2$ と同値である。

(1)
表の総数は $0,3,6$。0回は1通り。3回では裏5回により各方向に2個ずつrunがあり、各方向で和1となる方法が2通りなので $2^3=8$ 通り。6回では裏2回で3runが各2となる1通り。よって$$\frac{1+8+1}{2^8}=\frac{5}{128}\mathrm{.}$$(2)
$r=3m$ でなければ $p_r=0$。$r=3m$ なら裏は $200-3m=3(66-m)+2$ 回、runは $3(67-m)$ 個で、各方向に $67-m$ 個ずつある。各方向で和 $m$ となる弱い組合せは$${}_{m+67-m-1}{\mathrm{C}}_m={}_{66}{\mathrm{C}}_m$$通りだから$$p_r=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{({}_{66}{\mathrm{C}}_m{)}^3}{2^{200}}}& (r=3m,0\leqq m\leqq 66),\\ 0& (3\nmid r)\mathrm{.}\end{array}$$また$$\frac{{}_{66}{\mathrm{C}}_{m+1}}{{}_{66}{\mathrm{C}}_m}=\frac{66-m}{m+1}$$より最大は $m=33$、したがって$$r=99$$である。